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  3. (1998年试题，十)设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值．

(1998年试题，十)设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值．

admin2013-12-18  100
问题 (1998年试题，十)设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值．
选项
答案由题设，曲线上凸，因而y’’<0，由曲率公式得[*]化简得[*]令p=y’，则p’=y’’，代入上式，得[*]，此为可分离变量的方程，即[*]，两边积分得arctap=C1一x．又由已知曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，则曲线过点(0，1)，且该点处y｜x=0=1，即p｜x=0=1，代入上式，得[*]，所以[*]，积分得[*]将点(0，1)代入上式，得[*]综上得所求曲线为[*]又由[*]所以[*]因为lnx是严格递增的，且g(x)=[*]在[*]取极大值[*]且[*]且[*]因而y=y(x)无极小值，当[*]时取得最大值[*]
解析 主要考查曲率计算公式和可降阶微分方程求解及函数极值问题，极值用极值的充分条件判定即可．
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考研数学二

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