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(1998年试题,十)设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值.
(1998年试题,十)设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值.
admin
2013-12-18
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问题
(1998年试题,十)设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为
,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值.
选项
答案
由题设,曲线上凸,因而y
’’
<0,由曲率公式得[*]化简得[*]令p=y
’
,则p
’
=y
’’
,代入上式,得[*],此为可分离变量的方程,即[*],两边积分得arctap=C
1
一x.又由已知曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,则曲线过点(0,1),且该点处y|
x=0
=1,即p|
x=0
=1,代入上式,得[*],所以[*],积分得[*]将点(0,1)代入上式,得[*]综上得所求曲线为[*]又由[*]所以[*]因为lnx是严格递增的,且g(x)=[*]在[*]取极大值[*]且[*]且[*]因而y=y(x)无极小值,当[*]时取得最大值[*]
解析
主要考查曲率计算公式
和可降阶微分方程求解及函数极值问题,极值用极值的充分条件判定即可.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/M134777K
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考研数学二
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