函数F(x)=∫xx+2πf(t)dt,其中f(t)=(1+sin2t)cos2t,则F(x)

admin2018-11-21  28

问题 函数F(x)=∫xx+2πf(t)dt,其中f(t)=(1+sin2t)cos2t,则F(x)

选项 A、为正数.
B、为负数.
C、恒为零.
D、不是常数.

答案B

解析 由于被积函数连续且以π为周期(2π也是周期),故F(x)=F(0)=∫0f(t)dt=2∫0πf(t)dt,即F(x)为常数.由于被积函数是变号的,为确定积分值的符号,可通过分部积分转化为被积函数定号的情形,即
    2∫0πf(t)dt=∫0π(1+sin2t)d(sin2t)=∫0π一sin22t(2+sin2t)dt<0,
故应选B.
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