2. 考研
  3. 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy。 (Ⅰ)设M(x，y)为区域D上的一个点，问h(x，y)，在该点沿平面上什么方向的方

设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy。 (Ⅰ)设M(x，y)为区域D上的一个点，问h(x，y)，在该点沿平面上什么方向的方

admin2018-05-25  139
问题 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy。
    (Ⅰ)设M(x，y)为区域D上的一个点，问h(x，y)，在该点沿平面上什么方向的方向导数最大。若记此方向导数的最大值为g(x0，y0)，试写出g(x0，y0)的表达式；
    (Ⅱ)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在D的边界曲线x2+y2一xy=75上找出使(Ⅰ)中的g(x，y)达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。
选项
答案(Ⅰ)函数h(x，y)在点M处沿该点的梯度方向 [*]={一2x0+y0，一2y0+x0}。 方向导数的最大值是gradh(x，y)[*]的模，即 g(x0，y0)=[*]。 (Ⅱ)求g(x，y)在条件x2+y2一xy一75=0下的最大值点与求g2(x，y)=(y一2x)2+(x一2y)2=5x2+5y2一8xy在条件x2+y2一xy一75=0下的最大值点等价。这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x，y，λ)=5x2+5y2一8xy+λ(x2+y2一xy一75)， 则有 [*] 联立(1)，(2)解得y=一x，λ=一6或y=x，λ=一2。 若y=一x，则由(3)式得3x2=75，即x=±5，y=[*]5。 若y=x，则由(3)式得x2=75，即x=±[*]。 于是得可能的条件极值点 M1(5，一5)，M2(一5，5)，M[*]。 现比较f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2—8xy在这些点的函数值，有 f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150。 因为实际问题存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到。所以g2(x，y)在M1，M2取得边界线D上的最大值，即M1，M2可作为攀登的起点。
解析
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考研数学一

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