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  3. [2011年] 设函数z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1．求.

[2011年] 设函数z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1．求.

admin2019-04-05  107
问题 [2011年]  设函数z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1．求.
选项
答案先求[*]，再将x=1，g(1)=1，g′(1)=0代入得到[*]，然后由[*] 对y求偏导，最后将y=1代入即得[*] 也可先求[*]，再将[*]对y求偏导，即得[*]，最后将x=1，y=1代入． 解一 令u=xy，v=yg(x)，因在x=1处g(x)取得极值g(1)=1，故g′(1)=0． [*]=yf′1(xy，yg(x))+yg′(x)f′2(xy，yg(x))． ① 将x=1，g(1)=l，g′(1)=0代入上式，得到 [*]=yf′1(y，yg(1))+yg′(1)f′2(y，yg(1))=y′1(y，y)． ② 再在式②两边对y求导数得到 [*][yf′1(y，y)]=f′1(y，y)+yf″12(y，y)+yf″12(y，y)． 将y=1代入上式即得 [*]=f′1(1，1)+f″11(1，1)+f″12(1，1)． 解二 在解一中式①两边对y求偏导得到 [*] =f′1+y[*]+g′(x)f′2+yg′(x)[*] =f′1+xyf″11+g(x)f″12+g′(x)f′2+yg′(x)[xf″21+g(x)f″22]． 因在x=1处g(x)取得极值g(1)=1，故g′(1)=0．代入上式得到 [*]=f′1(1，1)+f″11(1，1)+g(1)f″12(1，1)+g′(1)f′2(1，1)+yg′(1)[f″21(1，1)+g(1)，f″22(1，1)] =f′1(1，1)+f″12(1，1)+f2(1，1)+0+0 =f′1(1，1)+f″11(1，1)+f″12(1，1)．
解析
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考研数学二

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