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[2011年] 设函数z=f(xy,yg(x)),其中函数f具有二阶连续偏导数,函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1.求.
[2011年] 设函数z=f(xy,yg(x)),其中函数f具有二阶连续偏导数,函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1.求.
admin
2019-04-05
19
问题
[2011年] 设函数z=f(xy,yg(x)),其中函数f具有二阶连续偏导数,函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1.求
.
选项
答案
先求[*],再将x=1,g(1)=1,g′(1)=0代入得到[*],然后由[*] 对y求偏导,最后将y=1代入即得[*] 也可先求[*],再将[*]对y求偏导,即得[*],最后将x=1,y=1代入. 解一 令u=xy,v=yg(x),因在x=1处g(x)取得极值g(1)=1,故g′(1)=0. [*]=yf′
1
(xy,yg(x))+yg′(x)f′
2
(xy,yg(x)). ① 将x=1,g(1)=l,g′(1)=0代入上式,得到 [*]=yf′
1
(y,yg(1))+yg′(1)f′
2
(y,yg(1))=y′
1
(y,y). ② 再在式②两边对y求导数得到 [*][yf′
1
(y,y)]=f′
1
(y,y)+yf″
12
(y,y)+yf″
12
(y,y). 将y=1代入上式即得 [*]=f′
1
(1,1)+f″
11
(1,1)+f″
12
(1,1). 解二 在解一中式①两边对y求偏导得到 [*] =f′
1
+y[*]+g′(x)f′
2
+yg′(x)[*] =f′
1
+xyf″
11
+g(x)f″
12
+g′(x)f′
2
+yg′(x)[xf″
21
+g(x)f″
22
]. 因在x=1处g(x)取得极值g(1)=1,故g′(1)=0.代入上式得到 [*]=f′
1
(1,1)+f″
11
(1,1)+g(1)f″
12
(1,1)+g′(1)f′
2
(1,1)+yg′(1)[f″
21
(1,1)+g(1),f″
22
(1,1)] =f′
1
(1,1)+f″
12
(1,1)+f2(1,1)+0+0 =f′
1
(1,1)+f″
11
(1,1)+f″
12
(1,1).
解析
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考研数学二
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