设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a) ·f(b)>0,f(a)·＜0,试证至少有一点ξ∈(a,b)使得f’(ξ)=f(ξ)。

admin2022-09-05 86

问题设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a) ·f(b)>0,f(a)·

＜0,试证至少有一点ξ∈(a,b)使得f’(ξ)=f(ξ)。

选项

答案设F(x)=f(a)e^-xf(x)则 F(a)=f²(a)e^-a＞0,[*],F(b)=f(a)f(b)e^-a＞0 所以由零点定理知存在ξ₁∈[*],使得F(ξ₁)=0,F(ξ₂)=0 再在区间[ξ₁,ξ₂]上使用罗尔定理即得结果。

解析

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