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已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y’= 1一y’,且y(2)=0,求y(x)的极大值与极小值.
已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y’= 1一y’,且y(2)=0,求y(x)的极大值与极小值.
admin
2019-06-09
52
问题
已知函数y=y(x)满足微分方程x
2
+y
2
y’= 1一y’,且y(2)=0,求y(x)的极大值与极小值.
选项
答案
由x
2
+y
2
y
’
=1一y
’
,得y
’
=[*] 令y
’
=0得x=±1,且 当x<一1时,y’<0; 当一1<x<1时,y’>0; 当x>1时,y’<0; 所以,函数y=y(x)在x=一1处取得极小值,在x=1处取得极大值. 由方程x
2
+ y
2
y
’
=1一y
’
得 (1+y
2
)y
’
=1一x
2
(1) ∫(1+ y
2
)dy=∫(1一 x
2
)dx x
3
+ y
3
—3x+ 3y=C 由y(2)=0得C=2. x
3
+ y
3
—3x+3y=2 (2) 由(2)式得 y(一1)=0,y(1)=1.
解析
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考研数学二
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