设矩阵A、B的行数都是m,证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(AB).

admin2017-06-26  28

问题 设矩阵A、B的行数都是m,证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(AB).

选项

答案设B、X按列分块分别为B=[b1 b2 … bp].X=[χ1 χ2 …χp],则AX=B,[*][Aχ12 … Aχp]=[b1 b2 …bp][*]Aχj=bj(j=1,2,…,p),故AX=B有解[*]Aχj=bj(j=1,2,…,p)有解,故由非齐次线性方程组Aχj=bj有解的充要条件可知,AX=B有解[*]r(A)=r(A[*]bj)(j=1,2,…,p)[*]r(A)=r[A b1 b2…bp]=[A[*]B].

解析
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