2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，b>a>0，f(a)≠f(b)，试证：存在ξη∈(a，b)，使得2ηf’(ξ)=(a+b)f’(η)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，b>a>0，f(a)≠f(b)，试证：存在ξη∈(a，b)，使得2ηf’(ξ)=(a+b)f’(η)．

admin2019-05-14  15
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，b>a>0，f(a)≠f(b)，试证：存在ξη∈(a，b)，使得2ηf’(ξ)=(a+b)f’(η)．
选项
答案由拉格朗日微分中值定理,可得[*] 取g(x)=x2，则f(x)、g(x)在[a，b]上满足柯西定理的条件． 由柯西微分中值定理，存在点η∈(a，b)，使得[*] 故有2ηf’(ξ)=(a+b)f’(η)．
解析 关于双介值问题，解题的基本思路是将其化为单介值问题．先将两个介值分离，再用两次拉格朗日微分中值定理或一次拉格朗日微分中值定理、一次柯西微分中值定理．在用一次拉格朗日微分中值定理、一次柯西微分中值定理证明的命题中，一般来说，一个函数是已知的，另一个函数通过对要证结论稍加整理便可看出．
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考研数学一

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