设非齐次方程组有解，且系数矩阵A的秩r(A)=r＜n(b1，b2，…，bn不全为零)．证明：方程组(Ⅰ)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n－r+1个．

admin2017-06-14 77

问题设非齐次方程组

有解，且系数矩阵A的秩r(A)=r＜n(b₁，b₂，…，b_n不全为零)．证明：方程组(Ⅰ)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n－r+1个．

选项

答案因r(A)=r＜n，可设ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r是(Ⅰ)的对应齐次线性方程组的基础解系，η^*是(Ⅰ)的一个特解．由η^*不能被ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r线性表示，且ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r线性无关，可知η^*，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r线性无关，而方程组(Ⅰ)的任意一解η都可以表示成η^*和ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r的线性组合． η=η^*=k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n－rξ_n－r．所以(Ⅰ)的解向量的秩≤n－r+1．又向量组η^*，η^*+ξ₁，η^*+ξ₂，…，η^*+ξ_n－r是(Ⅰ)的n－r+1个特解，考察 k₀η^*+k₁(η^*+ξ₁)+k₂(η^*+ξ₂)+…+k_n－r(η^*+ξ_n－r)=0，整理得 (k₀+k₁+k₂+…+k_n－r)η^*+k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n－rξ_n－r=0．因η^*，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r线性无关，上式成立当且仅当 [*] 即 k₁=k₂=…=k_n－r=k₀=0．从而得证η^*，η^*+ξ₁，η^*+ξ₂，…，η^*+ξ_n－r线性无关， r(η^*，η^*+ξ₁，η^*+ξ₂，…，η^*+ξ_n－r)=n－r+1，即方程组(Ⅰ)至少有n－r+1个线性无关的解向量，即(Ⅰ)的解向量组的秩≥n－r+1．综上所述，方程组(Ⅰ)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n－r+1个．

解析

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考研数学一

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设非齐次方程组有解，且系数矩阵A的秩r(A)=r＜n(b1，b2，…，bn不全为零)．证明：方程组(Ⅰ)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n－r+1个．

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当k=________时，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，-3，2)，α2=(2，-1，1)线性表示．

设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

设n元线性方程组Ax=b，其中当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；

设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2个阶导数，且f(x)=1。证明：存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.

设f(x)，ψ(x)，ψ(x)是(－∞，+∞)内的单调增函数，证明：若ψ(x)≤f(x)≤ψ(x)，则ψ(ψ(x))≤f(f(x))≤ψ(ψ(x))

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设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．

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