首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+1个.
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+1个.
admin
2019-05-14
42
问题
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=
=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+1个.
选项
答案
因为r(A)=r<n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n一r个线性无关的解向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
. 设η
0
为方程组AX=b的一个特解, 令β=η
0
,β
1
=ξ
1
+η
0
,β
2
=ξ
2
+η
0
,…,β
n—r
=ξ
n—r
+η
0
,显然β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n—r
为方程组AX=b的一组解. 令k
0
β
0
+k
1
β
1
+…+k
n—r
β
n—r
=0,即 (k
0
+k
1
+…+k
n—r
)η
0
+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n—r
ξ
n—r
=0, 上式两边左乘A得(k
0
+k
1
+…+k
n—r
)b=0, 因为b为非零列向量,所以k
0
+k
1
+…+k
n—r
=0,于是 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n—r
ξ
n—r
=0, 注意到ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性无关,所以k
1
=k
2
=…=k
n—r
=0, 故β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n—r
线性无关,即方程组AX=b存在由n一r+1个线性无关的解向量构成的向量组.设β
1
,β
2
,…,β
n—r+2
为方程组AX=b的一组线性无关解, 令γ
1
=β
2
一β
1
,γ
2
=β
3
一β
1
,…,γ
n—r+1
=β
n—r+1
一β
1
,根据定义,易证γ
1
,γ
2
,…,γ
n—t+1
线性无关,又γ
1
,γ
2
,…,γ
n—t+1
为齐次线性方程组AX=0的一组解,即方程组AX=0含有n一r+1个线性无关的解,矛盾,所以AX=b的任意n一r+2个解向量都是线性相关的,所以 AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n一r+1个.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Nq04777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设函数u(x,y)=φ(x+y)+φ(x—y)+∫x—yx+yψ(t)dt,其中函数φ具有二阶导数,ψ具有一阶导数,则必有()
设函数f(x)在[a,b]上连续,x1,x2,…,xn,…,是[a,b]上一个点列,求。
判断直线L1:和直线L2:x+1=y一1=z是否相交。如果相交求其交点,如果不相交求两直线间距离。
设a,b,c为非零向量,则与a不垂直的向量是()
设e<a<b,证明:a2<<b2。
设A=(x一z,x3+yz,一3xy3),求rotA.ndS。其中曲面∑为锥面z=2一在xOy面的上方部分,其单位法向量n指向锥面∑外侧。
设z=f(x2+y2,),且f(u,v)具有二阶连续的偏导数,则=___________。
设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0的距离的平方成正比(比例常数k>0),求球体的质心位置。
设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为试求:数学期望EX,EY;
设两点A(1,0,0)与B(0,1,1)的连线绕z轴旋转一周而成的旋转面为S,求曲面S与z=0,z=1围成的立体的体积.
随机试题
根据《中华人民共和国疫苗管理法》,下列说法正确的是()。
Whichofthefollowingprefixescannotbeusedtoindicatetimeandorder?()
急性肾盂肾炎一般不出现
人工铺轨包括()等技术作业。
二级公路的基层和二级以下公路高级路面的基层不得使用()。
赵先生现年35岁,2年前离异,自己一人带着4岁的儿子一同生活。目前任职于某国企中层领导岗位。每月工资税后8000元,年终各种福利和奖金税后8万元。离婚后赵先生分得了一套120平米的住房,房屋还有50元贷款余额没有偿还,每月月供4000元,采用等额本息还款方
2008年金融危机后,巴塞尔委员会有效银行监管核心原则的主要变化趋势包括()。
一、注意事项1.申论考试与一般的写作考试不同,它是对应考者阅读理解能力、分析能力、提出并解决问题能力和文字表达能力的综合测试。2.请先仔细阅读给定的资料,然后按照后面提出的“作答要求”依次作答。3.本卷满分为100分。考试总时限为1
下列关于环境污染责任的说法正确的是()
Whosaysyourjobleavesyounotimetohitthegym?AdetailednewstudyofU.S.physicalactivitypatternsshowsthatmenwho
最新回复
(
0
)