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  3. 设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+1个．

设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+1个．

admin2019-05-14  40
问题 设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+1个．
选项
答案因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n一r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn—r． 设η0为方程组AX=b的一个特解， 令β=η0，β1=ξ1+η0，β2=ξ2+η0，…，βn—r=ξn—r+η0，显然β0，β1，β2，…，βn—r为方程组AX=b的一组解． 令k0β0+k1β1+…+kn—rβn—r=0，即 (k0+k1+…+kn—r)η0+k1ξ1+k2ξ2+…+kn—rξn—r=0， 上式两边左乘A得(k0+k1+…+kn—r)b=0， 因为b为非零列向量，所以k0+k1+…+kn—r=0，于是 k1ξ1+k2ξ2+…+kn—rξn—r=0， 注意到ξ1，ξ2，…，ξn—r线性无关，所以k1=k2=…=kn—r=0， 故β0，β1，β2，…，βn—r线性无关，即方程组AX=b存在由n一r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设β1，β2，…，βn—r+2为方程组AX=b的一组线性无关解， 令γ1=β2一β1，γ2=β3一β1，…，γn—r+1=βn—r+1一β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn—t+1线性无关，又γ1，γ2，…，γn—t+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n一r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n一r+2个解向量都是线性相关的，所以 AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n一r+1个．
解析
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考研数学一

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