设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+1个.

admin2019-05-14  42

问题 设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+1个.

选项

答案因为r(A)=r<n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n一r个线性无关的解向量,设为ξ1,ξ2,…,ξn—r. 设η0为方程组AX=b的一个特解, 令β=η0,β110,β220,…,βn—rn—r0,显然β0,β1,β2,…,βn—r为方程组AX=b的一组解. 令k0β0+k1β1+…+kn—rβn—r=0,即 (k0+k1+…+kn—r0+k1ξ1+k2ξ2+…+kn—rξn—r=0, 上式两边左乘A得(k0+k1+…+kn—r)b=0, 因为b为非零列向量,所以k0+k1+…+kn—r=0,于是 k1ξ1+k2ξ2+…+kn—rξn—r=0, 注意到ξ1,ξ2,…,ξn—r线性无关,所以k1=k2=…=kn—r=0, 故β0,β1,β2,…,βn—r线性无关,即方程组AX=b存在由n一r+1个线性无关的解向量构成的向量组.设β1,β2,…,βn—r+2为方程组AX=b的一组线性无关解, 令γ12一β1,γ23一β1,…,γn—r+1n—r+1一β1,根据定义,易证γ1,γ2,…,γn—t+1线性无关,又γ1,γ2,…,γn—t+1为齐次线性方程组AX=0的一组解,即方程组AX=0含有n一r+1个线性无关的解,矛盾,所以AX=b的任意n一r+2个解向量都是线性相关的,所以 AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n一r+1个.

解析
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