已知f(x)连续,且x∫02xf(t)dt+2∫x0tf(2t)dt=2x3(x一1),求f(x)在[0,2]上的最大值和最小值.

admin2019-03-12  28

问题 已知f(x)连续,且x∫02xf(t)dt+2∫x0tf(2t)dt=2x3(x一1),求f(x)在[0,2]上的最大值和最小值.

选项

答案对已知等式两边分别求导: 左边=(x∫02xf(t)dt+2∫x0tf(2t)dt)’=∫02xf(t)dt+2xf(2x)—2xf(2x) =∫02xf(t)dt, 右边=[2x3(x一1)]’=8x3一6x2, 由题设有 ∫02xf(t)dt=8x3一6x2. 两边再对x求导得 2f(2x)=24x2一12x. 即f(2x)=6x(2x一1)=3.2x(2x一1).令u=2x,得f(u)=3u(u一1),即 f(x)=3x(x一1). 再求f(x)在[0,2]上的最值. 令f’(x)=6x一3=0,得x=[*]. 比较[*]分别是f(x)的最大值和最小值.

解析 对变限积分求导,可得f(x)的解析式,然后求最值.
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