已知f(x)连续，且x∫02xf(t)dt+2∫x0tf(2t)dt=2x3(x一1)，求f(x)在[0，2]上的最大值和最小值．

admin2019-03-12 31

问题已知f(x)连续，且x∫₀^2xf(t)dt+2∫_x⁰tf(2t)dt=2x³(x一1)，求f(x)在[0，2]上的最大值和最小值．

选项

答案对已知等式两边分别求导：左边=(x∫₀^2xf(t)dt+2∫_x⁰tf(2t)dt)’=∫₀^2xf(t)dt+2xf(2x)—2xf(2x) =∫₀^2xf(t)dt，右边=[2x³(x一1)]’=8x³一6x²，由题设有 ∫₀^2xf(t)dt=8x³一6x²．两边再对x求导得 2f(2x)=24x²一12x．即f(2x)=6x(2x一1)=3．2x(2x一1)．令u=2x，得f(u)=3u(u一1)，即 f(x)=3x(x一1)．再求f(x)在[0，2]上的最值．令f’(x)=6x一3=0，得x=[*]．比较[*]分别是f(x)的最大值和最小值．

解析对变限积分求导，可得f(x)的解析式，然后求最值．

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考研数学三

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