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  3. 已知矩阵相似，求a，b及一个可逆矩阵P，使P—1AP=B．

已知矩阵相似，求a，b及一个可逆矩阵P，使P—1AP=B．

admin2019-08-26  28
问题 已知矩阵相似，求a，b及一个可逆矩阵P，使P—1AP=B．
选项
答案因为A，B相似，所以| A | =| B|，且tr(A)=tr(B)， [*] 故A的两个特征值为—1，—1． 但[*] 因此R(—E—A)=1，所以不能对角化． 设[*]，满足P—1AP=B，即有AP=PB，从而 [*] 整理得 [*] 解得基础解系为[*] 所以[*]，k1，k2为非零常数． 令[*]所以可令[*]，则有P—1AP=B．
解析 【思路探索】经验证，A不能相似对角化，故使用待定系数法求P．
【错例分析】本题最常见错误即认为P—1AP就是将A相似对角化．事实上，由| λE—A |=0，解得λ=—1，是A的二重特征值，但，故A只有一个线性无关的特征向量，即A不能相似对角化．
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考研数学三

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