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设A,B均为n阶方阵,满足A2=A,B2=B,(A—B)2=A+B,证明:AB=BA=O。
设A,B均为n阶方阵,满足A2=A,B2=B,(A—B)2=A+B,证明:AB=BA=O。
admin
2019-03-23
49
问题
设A,B均为n阶方阵,满足A
2
=A,B
2
=B,(A—B)
2
=A+B,证明:AB=BA=O。
选项
答案
因为(A—B)
2
=A
2
—AB—BA+B
2
=A+B—(AB+BA),所以 AB+BA=O,(*) 用A左乘(*)式得A
2
B+ABA=O,即有AB= —ABA,用A右乘(*)式得ABA+BA
2
=D,则有BA= —ABA。故有AB=BA=O。
解析
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考研数学二
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