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设A==(α1,α2,…,αs),其中ai≠aj(i≠j,i=1,2,…,s,j=1,2,…,s).讨论向量组α1,α2,…,αs的线性相关性.
设A==(α1,α2,…,αs),其中ai≠aj(i≠j,i=1,2,…,s,j=1,2,…,s).讨论向量组α1,α2,…,αs的线性相关性.
admin
2020-09-25
55
问题
设A=
=(α
1
,α
2
,…,α
s
),其中a
i
≠a
j
(i≠j,i=1,2,…,s,j=1,2,…,s).讨论向量组α
1
,α
2
,…,α
s
的线性相关性.
选项
答案
设k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0,则当此向量方程有非零解,即k
1
,k
2
,…,k
s
不全为零时α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,否则线性无关. 由k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0得(α
1
,α
2
,…,α
s
)[*]=0,即A
n×s
x
s×1
=0. 所以问题转化为求线性方程Ax=0的解: ①当n<s时,R(A)≤min{n,s)<s,故此方程有非零解,从而可得α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关; ②当n=s时,|A|为一范德蒙德行列式,由a
i
≠a
j
(i≠j)可知|A|≠0,故R(A)=n,故此方程仅有零解,故α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关; ③当n>s时,A的前s行组成的子式非零,故R(A)≥s,故Ax=0仅有零解,故α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关.
解析
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考研数学三
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