[2015年] 设函数f(x)在定义域I上的导数大于零．若对任意的x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式．

admin2019-03-30 32

问题 [2015年] 设函数f(x)在定义域I上的导数大于零．若对任意的x₀∈I，曲线y=f(x)在点(x₀，f(x₀))处的切线与直线x=x₀及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式．

选项

答案由图1．6．4．2易得过点C(x₀，f(x₀))的切线l的方程为y－f(x₀)=f’(x₀)(x－x₀)，则y=f’(x₀)(x－x₀)+f(₀)．l与x轴的交点A为y=0时，[*]则 [*] 于是切线、直线x=x₀及x轴所围成区域的面积为 [*] 因而y=f(x)所满足的微分方程为 [*] 分离变量，得到[*]积分得到[*]由初始条件y(0)=2，得到[*]故所求曲线l的方程为[*] [*]

解析

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考研数学三

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[2015年] 设函数f(x)在定义域I上的导数大于零．若对任意的x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式．

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