设f(x)在[0，1]上二阶可导，f(0)=0，f′(x)>0，f″(x)>0，则对于，其大小顺序排列正确的是( )

admin2022-06-22 3

问题设f(x)在[0，1]上二阶可导，f(0)=0，f′(x)>0，f″(x)>0，则对于

，其大小顺序排列正确的是( )

选项 A、NB、PC、MD、M

答案D

解析

ξ₁，ξ₂的取值如图(a)所示，则

由f″(x)>0，可知f′(x)单调递增，即f′(ξ₁)>f′(ξ₂)，于是上式大于0，由积分保号性知，N-M〉0，即N>M。
又由f″(x)>0，则f(x)为凹曲线，N表示右图(b)中阴影部分面积，即曲边三角形ABC的面积，P表示△ABC的面积，显然N＜P(其严格证明见注)。综上，M＜N＜P，选D。

【注】事实上，依题设，f′(x)>0，f″(x)>0(如图(c))，可证

【证】

其中η∈(a，x)(如图(d))。所以F(x)单调递增，故F(b)>F(a)=0。

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