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(99年)设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵.已知矩阵B=λE+ATA,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
(99年)设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵.已知矩阵B=λE+ATA,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
admin
2019-05-11
97
问题
(99年)设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵.已知矩阵B=λE+A
T
A,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
选项
答案
因为 B
T
=(λE+A
T
A)
T
=λE+A
T
A=B 所以B为n阶对称矩阵.对于任意的实n维向量χ,有 χ
T
Bχ=χ
T
(λE+A
T
A)χ=λχ
T
χ+χ
T
A
T
Aχ=λχ
T
χ+(Aχ)
T
(Aχ) 当χ≠0时,有χ
T
χ>0,(Aχ)
T
(Aχ)≥0.因此,当λ>0时,对任意的χ≠0,有 χ
T
Bχ=λχ
T
χ+(Aχ)
T
(Aχ)>0 即B为正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ObJ4777K
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考研数学三
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