(99年)设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B＝λE＋ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

admin2019-05-11 39

问题 (99年)设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B＝λE＋A^TA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

选项

答案因为 B^T＝(λE＋A^TA)^T＝λE＋A^TA＝B 所以B为n阶对称矩阵．对于任意的实n维向量χ，有 χ^TBχ＝χ^T(λE＋A^TA)χ＝λχ^Tχ＋χ^TA^TAχ＝λχ^Tχ＋(Aχ)^T(Aχ) 当χ≠0时，有χ^Tχ＞0，(Aχ)^T(Aχ)≥0．因此，当λ＞0时，对任意的χ≠0，有 χ^TBχ＝λχ^Tχ＋(Aχ)^T(Aχ)＞0 即B为正定矩阵．

解析

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考研数学三

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