已知二次型2χ12＋3χ22＋3χ32＋2aχ2χ3(a＞0)可用正交变换化为y12＋2y22＋5y32，求a和所作正交变换．

admin2021-11-09 28

问题已知二次型2χ₁²＋3χ₂²＋3χ₃²＋2aχ₂χ₃(a＞0)可用正交变换化为y₁²＋2y₂²＋5y₃²，求a和所作正交变换．

选项

答案原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相似． [*] 于是｜A｜＝｜B｜＝10．而｜A｜＝2(9－a²)，得a²＝4，a＝2． A和B的特征值相同，为1，2，5．对这3个特征值求单位特征向量．对于特征值1： A－E＝[*] 得(A－E)X＝0的同解方程组[*] 得属于1的一个特征向量η₁＝(0，1，－1)^T，单位化得γ₁＝[*] 对于特征值2： A＝2E＝[*] 得(A－2E)X＝0的同解方程组[*] 得属于2的一个单位特征向量γ₂＝(1，0，0)^T．对于特征值5： A－5E＝[*] 得(A－5E)X＝0的同解方程组[*] 得属于5的一个特征向量η₃＝(0，1，1)^T单位化得γ₃＝[*] 令Q＝(γ₁，γ₂，γ₃)，则正交变换X＝QY,把原二次型化为y₁²＋2y₂²＋5y₃²．

解析

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考研数学二

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已知二次型2χ12＋3χ22＋3χ32＋2aχ2χ3(a＞0)可用正交变换化为y12＋2y22＋5y32，求a和所作正交变换．

考研数学二

当x→0时，x－sinxcos2x～cxk，则c=,k=.

设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0.证明：存在ε∈（0,1）,使得.

设f(x)在[0,1]上二阶可导，且|f"(x)|≤1(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),证明：|f’(x)|≤.

设f(x)在[a,+∞)上连续，且存在.证明：f(x)在[a,+∞)上有界。

设A,B,C,D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n.设ξ1,ξ2,...,ξr与η1,η2,...,ηs分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1,ξ2,...,ξr，η1,η2,...,ηs线性无关。

A,B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n.证明：方程组AX=0与BX=0有公共的非零解。

f(x1,x2,x3,x4)=XTAX的正惯性指数是2，且A2-2A=O,该二次型的规范形为______.

已知实二二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵A=(aij)3×3，则()

设函数f(u)可导，y=f(x2)当自变量x在x=一1处取得增量△x=一0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f’(1)等于()

设区域D由x＋y＝1及两个坐标轴围成，令I＝x2dxdy，J＝sinx2cosy2dxdy，K＝dxdy，则()．

根据测量标准的定义，下列计量器具中不属于测量标准的是________。

Yesterday’ssolutionsarenotalways______totoday’sproblems.

下列关于台地的说法,错误的是()。

当获得的审核证据表明不能达到审核目的时，可采取的措施不包括()。

设三阶矩阵A的特征值为一1、2、3，E为三阶单位矩阵，则｜E一6A-1｜=一一。

Barbieisgoingthroughamidlifecrisis.After(1)_withlongtimeboyfriendKenearlierthisyear,shehas(2)_refuge

Smoking,inhalationandexhalationofthefumesofburningtobacco.Leavesofthetobaccoplantaresmokedinvariousways.Afte

A、Moreelectronswillbereleasedintospace.B、Radiotransmissionwillbedisrupted.C、Theweathermaybeaffected.D、Thesunsp

已知二次型2χ12＋3χ22＋3χ32＋2aχ2χ3(a＞0)可用正交变换化为y12＋2y22＋5y32，求a和所作正交变换．

考研数学二

当x→0时，x－sinxcos2x～cxk，则c=______,k=______.

设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0.证明：存在ε∈（0,1）,使得.

设f(x)在[0,1]上二阶可导，且|f"(x)|≤1(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),证明：|f’(x)|≤.

设f(x)在[a,+∞)上连续，且存在.证明：f(x)在[a,+∞)上有界。

设A,B,C,D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n.设ξ1,ξ2,...,ξr与η1,η2,...,ηs分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1,ξ2,...,ξr，η1,η2,...,ηs线性无关。

A,B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n.证明：方程组AX=0与BX=0有公共的非零解。

f(x1,x2,x3,x4)=XTAX的正惯性指数是2，且A2-2A=O,该二次型的规范形为______.

已知实二二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵A=(aij)3×3，则()

设函数f(u)可导，y=f(x2)当自变量x在x=一1处取得增量△x=一0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f’(1)等于()

设区域D由x＋y＝1及两个坐标轴围成，令I＝x2dxdy，J＝sinx2cosy2dxdy，K＝dxdy，则()．

根据测量标准的定义，下列计量器具中不属于测量标准的是________。

Yesterday’ssolutionsarenotalways______totoday’sproblems.

下列关于台地的说法,错误的是()。

当获得的审核证据表明不能达到审核目的时，可采取的措施不包括()。

设三阶矩阵A的特征值为一1、2、3，E为三阶单位矩阵，则｜E一6A-1｜=一一。

Barbieisgoingthroughamidlifecrisis.After(1)_____withlongtimeboyfriendKenearlierthisyear,shehas(2)_____refuge

Smoking,inhalationandexhalationofthefumesofburningtobacco.Leavesofthetobaccoplantaresmokedinvariousways.Afte

A、Moreelectronswillbereleasedintospace.B、Radiotransmissionwillbedisrupted.C、Theweathermaybeaffected.D、Thesunsp

当x→0时，x－sinxcos2x～cxk，则c=,k=.

Barbieisgoingthroughamidlifecrisis.After(1)_withlongtimeboyfriendKenearlierthisyear,shehas(2)_refuge