已知二次型2χ12+3χ22+3χ32+2aχ2χ3(a>0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32,求a和所作正交变换.

admin2021-11-09  21

问题 已知二次型2χ12+3χ22+3χ32+2aχ2χ3(a>0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32,求a和所作正交变换.

选项

答案原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相似. [*] 于是|A|=|B|=10.而|A|=2(9-a2),得a2=4,a=2. A和B的特征值相同,为1,2,5.对这3个特征值求单位特征向量. 对于特征值1: A-E=[*] 得(A-E)X=0的同解方程组[*] 得属于1的一个特征向量η1=(0,1,-1)T,单位化得γ1=[*] 对于特征值2: A=2E=[*] 得(A-2E)X=0的同解方程组[*] 得属于2的一个单位特征向量γ2=(1,0,0)T. 对于特征值5: A-5E=[*] 得(A-5E)X=0的同解方程组[*] 得属于5的一个特征向量η3=(0,1,1)T单位化得γ3=[*] 令Q=(γ1,γ2,γ3),则正交变换X=QY,把原二次型化为y12+2y22+5y32

解析
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