已知二次型2χ12＋3χ22＋3χ32＋2aχ2χ3(a＞0)可用正交变换化为y12＋2y22＋5y32，求a和所作正交变换．

admin2021-11-09 41

问题已知二次型2χ₁²＋3χ₂²＋3χ₃²＋2aχ₂χ₃(a＞0)可用正交变换化为y₁²＋2y₂²＋5y₃²，求a和所作正交变换．

选项

答案原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相似． [*] 于是｜A｜＝｜B｜＝10．而｜A｜＝2(9－a²)，得a²＝4，a＝2． A和B的特征值相同，为1，2，5．对这3个特征值求单位特征向量．对于特征值1： A－E＝[*] 得(A－E)X＝0的同解方程组[*] 得属于1的一个特征向量η₁＝(0，1，－1)^T，单位化得γ₁＝[*] 对于特征值2： A＝2E＝[*] 得(A－2E)X＝0的同解方程组[*] 得属于2的一个单位特征向量γ₂＝(1，0，0)^T．对于特征值5： A－5E＝[*] 得(A－5E)X＝0的同解方程组[*] 得属于5的一个特征向量η₃＝(0，1，1)^T单位化得γ₃＝[*] 令Q＝(γ₁，γ₂，γ₃)，则正交变换X＝QY,把原二次型化为y₁²＋2y₂²＋5y₃²．

解析

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考研数学二

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已知二次型2χ12＋3χ22＋3χ32＋2aχ2χ3(a＞0)可用正交变换化为y12＋2y22＋5y32，求a和所作正交变换．

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