设f(x)有界,且f’(x)连续,对任意的x∈(-∞,+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1.证明:|f(x)|≤1.

admin2018-05-25  20

问题 设f(x)有界,且f’(x)连续,对任意的x∈(-∞,+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1.证明:|f(x)|≤1.       

选项

答案令φ(x)=exf(x),则φ’(x)=ex[f(x)+f’(x)], 由|f(x)+f’(x)|≤1得|φ’(x)|≤ex,又由f(x)有界得φ(-∞)=0,则 φ(x)=φ(x)-φ(-∞)=∫-∞xφ’(x)dx,两边取绝对值得 ex|f(x)|≤∫-∞x|φ’(x)|dx≤∫-∞xexdx=ex,所以|f(x)|≤1.

解析
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