设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

admin2018-11-11 45

问题设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

选项

答案必要性．若B^TAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有x^T(B^TAB)x＞0，即 (Bx)^TA(Bx)＞0．又A为正定矩阵，于是Bx≠0．因此齐次线性方程组Bx=0仅有零解，从而r(B)=n．充分性．因(B^TAB)^T=B^TA^TB=B^TAB，故B^TAB为对称矩阵．若r(B)=n，则齐次线性方程组Bx=0仅有零解．因此，对任意的n维实列向量x≠0，必有Bx≠0．由已知，A为正定矩阵，故对Bx≠0，有(Bx)^TA(Bx)＞0，x^T(B^TAB)x＞0，故B^TAB为正定矩阵．

解析本题主要考查实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件，齐次线性方程组仅有零解的判别．注意运用齐次线性方程组Bx=O只有零解充分必要条件是

，则有Bx≠0，这是证题的关键．

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Oxj4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

考研数学二

已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则()

设B是秩为2的5×4矩阵，α1=(1，1，2，3)T，α2=(一1，1，4，一1)T，α3=(5，一1，一8，9)T是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基．

设4维向量空间V的两个基分别为(I)α1,α2,α3,α4；(Ⅱ)β1=α1+α2+α3，β2=α2+α3，β3=α3+α4，β4=α4，求由基(Ⅱ)到基(I)的过渡矩阵；

求一组向量α1，α2，使之与α3=(1，1，1)T成为R3的正交基；并把α1,α2,α3化成R3的一个标准正交基．

设函数f(x)对任意x均满足等式f(1+x)=af(x)，且有f’(0)=b，其中a，b为非零常数，则()

n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个维线性空间．给出n阶可逆矩阵P，以A表示V中的任一元素，试证合同变换TA=PTAP，是V中的线性变换．

设=(a1，a2，…，an)T，a1≠0，A=aaT，证明λ=0是A的n一1重特征值；

设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA一1α≠b．

(1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根；(2)记(1)中的实根为xn，证明存在，并求此极限．

设函数设数列{x0}满足，证明存在，并求此极限．

简述失眠的类型。

We’vetestedthreehundredtypesofboot,iscompletelywaterproof.

关于IA—DSA优点的说法，错误的是

呃逆与干呕、嗳气在病机上的共同点是()

资产负债表是总括反映企业特定日期资产、负债和所有者权益情况的动态报表。通过它可以了解企业的资产构成、资金的来源构成和企业债务的偿还能力。()

简述设计教学法。

16，27，16，()，1

以下选项中叙述正确的是()。

Completethesummaryusingthelistofwords,A-l,below.Writethecorrectletter,A-l,inboxes37-40onyouranswersheet.Re

【B1】【B5】