首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
admin
2018-11-11
58
问题
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,B
T
为B的转置矩阵,试证:B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
选项
答案
必要性. 若B
T
AB为正定矩阵,则对任意的实n维列向量x≠0,有x
T
(B
T
AB)x>0, 即 (Bx)
T
A(Bx)>0.又A为正定矩阵,于是Bx≠0.因此齐次线性方程组Bx=0仅有零解,从而r(B)=n. 充分性. 因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
B=B
T
AB,故B
T
AB为对称矩阵. 若r(B)=n,则齐次线性方程组Bx=0仅有零解.因此,对任意的n维实列向量x≠0,必有Bx≠0. 由已知,A为正定矩阵,故对Bx≠0,有(Bx)
T
A(Bx)>0,x
T
(B
T
AB)x>0,故B
T
AB为正定矩阵.
解析
本题主要考查实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件,齐次线性方程组仅有零解的判别.注意运用齐次线性方程组Bx=O只有零解充分必要条件是
,则有Bx≠0,这是证题的关键.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Oxj4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
在电源电压不超过200伏,在200—240伏和超过240伏三种情形下.某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2,假设电源电压X服从正态分布N(220,252),求(1)该电子元件损坏的概率;(2)该电子元件损坏时,电源电压在200~240伏的
设一1<x1<0,xn+1=xn2+2xn(n=0,1,2,…).证明数列{xn}的极限存在,并求此极限值.
已知向量组A:α1=(0,1,1)T,α2=(1,1,0)T;B:β1=(一1,0,1)T,β2=(1,2,1)T,β3=(3,2,一1)T.试证A组与B组等价.
设函数f(x)对任意x均满足等式f(1+x)=af(x),且有f’(0)=b,其中a,b为非零常数,则()
证明对称阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U,使A=UTU,即A与单位阵E合同.
设=(a1,a2,…,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n一1重特征值;
(2003年)设函数f(χ)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f′(χ)>0.若极限存在.证明:(1)在(a,b)内f(χ)>0;(2)在(a,b)内存在点ξ,使(3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点
设A为n阶矩阵,λ1和λ2是A的两个不同的特征值.x1,x2是分别属于λ1和λ2的特征向量,试证明:x1+x2不是A的特征向量.
计算下列各题:(Ⅰ)设(Ⅱ)设(Ⅲ)设y=,其中a>b>0,求y′.
随机试题
在征收和国有化的补偿问题上,发达国家主张的“赫尔原则"包括()
在Access2010中,报表是按_______设计的。
下述有关肺间质疾病叙述不正确的是
A.小活络丸B.四妙丸C.颈复康颗粒D.天麻丸E.五苓散以上哪种中成药属于温化水湿剂()
无效民事行为的特征有()。
某设备工程需安装四台卧式氨储罐。在编制安装工程预算时,有关资料如表4-24所示。 问题:计算该设备安装工程的预算造价(措施费按直接工程费的10%计算,其中人工费占50%;间接费按人工费的27%计取,利润按人工费的80%计取,综合税
机电安装工程中需作经济分析的主要施工方案包括()。
根据会计档案管理办法的规定,会计档案保管期限分为永久和定期两类。定期保管的会计档案,其最长期限是( )。
根据以下资料,回答下列小题。国家统计局数据显示,2012年我国国内生产总值(GDP)为51.93万亿元,比上年增加4.78万亿元。其中,消费对GDP增长的贡献率为51.8%,投资贡献率为50.4%,净出口贡献率为-2.2%。根据经济学理
Themedicine______hispainbutdidnotcurehisillness.(2015年北京航空大学考博试题)
最新回复
(
0
)