2. 考研
  3. 设A=，方程组AX=β有解但不唯一． (1)求a； (2)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵； (3)求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．

设A=，方程组AX=β有解但不唯一． (1)求a； (2)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵； (3)求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．

admin2020-03-16  58
问题 设A=，方程组AX=β有解但不唯一．
(1)求a；
(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵；
(3)求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．
选项
答案(1)因为方程组AX=β有解但不唯一，所以｜A｜0，从而a=-2或a=1． 当a=-2时，[*]，方程组有无穷多解； 当a=1时，[*]，方程组无解，故a=-2． (2)由｜λE-A｜=λ(λ+3)(λ-3)=0得λ1=0，λ2=3，λ3=-3． 由(0E-A)X=0得λ1=0对应的线性无关的特征向量为ξ1=[*] 由(3E-A)X=0得λ2=3对应的线性无关的特征向量为ξ2=[*] 由(-3E-A)X=0得λ3=-3对应的线性无关的特征向量为ξ3=[*] 令P=[*]，则P-1AP=[*] (3)令γ1=[*]，γ2=[*]，γ3= [*] 则QTAQ=[*]
解析
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考研数学二

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