设A=,方程组AX=β有解但不唯一. (1)求a; (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵; (3)求正交阵Q,使得QTAQ为对角阵.

admin2020-03-16  26

问题 设A=,方程组AX=β有解但不唯一.
(1)求a;
(2)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵;
(3)求正交阵Q,使得QTAQ为对角阵.

选项

答案(1)因为方程组AX=β有解但不唯一,所以|A|0,从而a=-2或a=1. 当a=-2时,[*],方程组有无穷多解; 当a=1时,[*],方程组无解,故a=-2. (2)由|λE-A|=λ(λ+3)(λ-3)=0得λ1=0,λ2=3,λ3=-3. 由(0E-A)X=0得λ1=0对应的线性无关的特征向量为ξ1=[*] 由(3E-A)X=0得λ2=3对应的线性无关的特征向量为ξ2=[*] 由(-3E-A)X=0得λ3=-3对应的线性无关的特征向量为ξ3=[*] 令P=[*],则P-1AP=[*] (3)令γ1=[*],γ2=[*],γ3= [*] 则QTAQ=[*]

解析
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