2. 考研
  3. [2003年] 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(√2，1／2)，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分． 求曲线y=f(x)的方程；

[2003年] 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(√2，1／2)，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分． 求曲线y=f(x)的方程；

admin2019-04-17  47
问题 [2003年]  设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(√2，1／2)，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．
求曲线y=f(x)的方程；
选项
答案 先求出法线方程及其与y轴的交点Q的坐标．再由PQ被x轴所平分，可得一微分方程，解此方程即可求得f(x)的方程．将曲线f(x)的椭圆方程化为参数方程，再用弧长公式(1．3．5．13)计算． 曲线y=f(x)在点P(x，y)处的法线方程为Y—y=(一1／y′)(X—x)，其中(X，Y)为法线上任意一点的坐标．令X=0，则Y=y+x／y′，故点Q的坐标为(0，y+x／y′)． 由题设知 [y+y+x／y′]／2=0， y+y+x／y′=0，即2ydy+xdx=0， 积分得 x2+2y2=C (C为任意常数)． 由[*]=1／2知C=1，故曲线y=f(x)的方程为 x2+2y2=1， 即 x2／i+y／(√2／2)2=1．
解析
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考研数学二

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