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[2003年] 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(√2,1/2),其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分. 求曲线y=f(x)的方程;
[2003年] 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(√2,1/2),其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分. 求曲线y=f(x)的方程;
admin
2019-04-17
31
问题
[2003年] 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(√2,1/2),其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分.
求曲线y=f(x)的方程;
选项
答案
先求出法线方程及其与y轴的交点Q的坐标.再由PQ被x轴所平分,可得一微分方程,解此方程即可求得f(x)的方程.将曲线f(x)的椭圆方程化为参数方程,再用弧长公式(1.3.5.13)计算. 曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为Y—y=(一1/y′)(X—x),其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标.令X=0,则Y=y+x/y′,故点Q的坐标为(0,y+x/y′). 由题设知 [y+y+x/y′]/2=0, y+y+x/y′=0,即2ydy+xdx=0, 积分得 x
2
+2y
2
=C (C为任意常数). 由[*]=1/2知C=1,故曲线y=f(x)的方程为 x
2
+2y
2
=1, 即 x
2
/i+y/(√2/2)
2
=1.
解析
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考研数学二
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