设矩阵 试判断A,B是否相似,若相似,求出可逆矩阵P,使B=P-1AP.

admin2020-09-25  40

问题 设矩阵

试判断A,B是否相似,若相似,求出可逆矩阵P,使B=P-1AP.

选项

答案|λE一A|=[*]=(λ一2)(λ2一1),故A的特征值为2,1,一1. 因A的特征值各不同,且A是三阶矩阵,所以[*] 易求得A的对应于特征值2,1,一1的特征向量分别为[*] 令X=(η1,η2,η3)=[*],则有X-1AX=[*] |λE一B|=[*]=(λ一1)(λ+1)(λ一2), 因此B的三个不同特征值为λ1=2,λ2=1,λ3=一1,因此B~[*].所以A与B相似. 同理易求得B对应于特征值2,1,一1的特征向量分别为[*] 令Q=(α1,α2,α3)=[*] 因此X-1AX=Q-1BQ,所以B=QX-1AXQ-1=(XQ-1)-1A(XQ-1). 因此所求P=XQ-1=[*]

解析
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