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设三阶方阵A与B相似,且|2E+A|=0。已知λ1=1,λ2=一1是方阵B的两个特征值,则|A+2AB|=________。
设三阶方阵A与B相似,且|2E+A|=0。已知λ1=1,λ2=一1是方阵B的两个特征值,则|A+2AB|=________。
admin
2020-03-18
67
问题
设三阶方阵A与B相似,且|2E+A|=0。已知λ
1
=1,λ
2
=一1是方阵B的两个特征值,则|A+2AB|=________。
选项
答案
18
解析
由|2E+A|=0,可得|一2E一A|=0,即λ=一2是A的一个特征值。因A与B相似,且由相似矩阵具有相同的特征值可知,λ
1
=1,λ
2
=一1也是A的特征值,所以A、B的特征值均为λ
1
=1,λ
2
=一1,λ
3
=一2,则E+2B的三个特征值分别为3,一1,一3。从而可得|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=2,|E+2B|=3×(一1)X(一3)=9,故|A+2AB|=|A(E+2E)|=|A|.|E+2B|=18。
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考研数学三
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