设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。已知λ1=1，λ2=一1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|=________。

admin2020-03-18 37

问题设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。已知λ₁=1，λ₂=一1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|=________。

选项

答案18

解析由|2E+A|=0，可得|一2E一A|=0，即λ=一2是A的一个特征值。因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ₁=1，λ₂=一1也是A的特征值，所以A、B的特征值均为λ₁=1，λ₂=一1，λ₃=一2，则E+2B的三个特征值分别为3，一1，一3。从而可得|A|=λ₁λ₂λ₃=2，|E+2B|=3×（一1）X（一3）=9，故|A+2AB|=|A（E+2E）|=|A|．|E+2B|=18。

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