设m×n矩阵A的秩为r，且r＜n，已知向量η是非齐次线性方程组Aχ＝b的一个解．试证：方程组Aχ＝b存在n－r＋1个线性无关的解，而且这n－r＋1个解可以线性表示方程组Aχ＝b的任一解．

admin2017-06-26 60

问题设m×n矩阵A的秩为r，且r＜n，已知向量η是非齐次线性方程组Aχ＝b的一个解．试证：方程组Aχ＝b存在n－r＋1个线性无关的解，而且这n－r＋1个解可以线性表示方程组Aχ＝b的任一解．

选项

答案由秩(A)＝r＜n，知方程组Aχ＝0的基础解系含n－r个向量，设Aχ＝0的基础解系为：ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r，则可证明：向量η，ξ₁＋η，…，ξ_n-r＋η是满足题意的n－r＋1个向量．

解析

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考研数学三

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