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  3. 设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有( )

设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有( )

admin2020-03-24  16
问题 设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有(    )
选项 A、A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
B、A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．
C、A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
D、A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．
答案A
解析 设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，当AB=O时，有r(A)+r(B)≤n，又A，B为非零矩阵，则必有r(A)＞0，r(B)＞0，可见r(A)＜n，r(B)＜n，即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．故选(A)．
    注：本题也可以用齐次线性方程组有非零解考虑正确选项．
    由于AB=O，则矩阵B的每一列向量均为方程组Ax=0的解，而B≠O，于是方程组Ax=0有非零解，所以矩阵A的列向量组线性相关．又BTAT=O，而AT≠0，于是方程组BTx=0有非零解，所以BT的列向量组，也即B的行向量组线性相关，选项(A)正确．
    本题还可以用取特殊值法：如若取A=(1，0)，易知AB=O，且有A的行向量组线性无关，B的列向量组也线性无关．即选项(B)、(C)、(D)均不正确．
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考研数学三

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