确定常数λ，使在右半平面(x＞0)上的向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)．

admin2019-04-08 88

问题确定常数λ，使在右半平面(x＞0)上的向量A(x，y)=2xy(x⁴+y²)^λi—x²(x⁴+y²)^λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)．

选项

答案确定常数λ．由梯度定义有gradu(x，y)=[*]=A(x，y)=Pi+Qj，因而 [*] 而 [*]=-2x(x⁴+y²)^λ-4λx⁵(x⁴+y²)^λ-1， [*]=2x(x⁴+y²)^λ+4λxy²(x⁴+y²)^λ-1，因当x＞0时，x⁴+y²≠0，故无论常数λ取何值，都有u’’_xy与u’’_xy连续，从而[*]，即[*]．由此得到(x⁴+y²)(λ+1)=0，故λ=一1．反之，若λ=一1，则P(x，y)=2xy(x⁴+x²)^-1，Q(x，y)=一x²(x⁴+y²)^-1，满足[*]，(x，y)≠(0，0)，从而在右半平面这个单连通区域D内Pdx+Qdy是某个函数u(z，y)的全微分，于是有[*]，即gradu(x，y)=Pi+Qj=A(x，y)．这就证明了当λ=一1时A(x，y)为某个二元函数u(x，y)的梯度．因在单连通区域D内有[*]，故存在u(x，y)使Pdx+Qdy=du．曲线积分∫_LPdx+Qdy在右半平面D内与路径无关．因而在右半平面(x＞0)上任取一特殊点，例如取点(1，0)，作为积分路径起点，则 [*]

解析

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考研数学一

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确定常数λ，使在右半平面(x＞0)上的向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)．

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