确定常数λ，使在右半平面(x＞0)上的向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)．

admin2019-04-08 72

问题确定常数λ，使在右半平面(x＞0)上的向量A(x，y)=2xy(x⁴+y²)^λi—x²(x⁴+y²)^λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)．

选项

答案确定常数λ．由梯度定义有gradu(x，y)=[*]=A(x，y)=Pi+Qj，因而 [*] 而 [*]=-2x(x⁴+y²)^λ-4λx⁵(x⁴+y²)^λ-1， [*]=2x(x⁴+y²)^λ+4λxy²(x⁴+y²)^λ-1，因当x＞0时，x⁴+y²≠0，故无论常数λ取何值，都有u’’_xy与u’’_xy连续，从而[*]，即[*]．由此得到(x⁴+y²)(λ+1)=0，故λ=一1．反之，若λ=一1，则P(x，y)=2xy(x⁴+x²)^-1，Q(x，y)=一x²(x⁴+y²)^-1，满足[*]，(x，y)≠(0，0)，从而在右半平面这个单连通区域D内Pdx+Qdy是某个函数u(z，y)的全微分，于是有[*]，即gradu(x，y)=Pi+Qj=A(x，y)．这就证明了当λ=一1时A(x，y)为某个二元函数u(x，y)的梯度．因在单连通区域D内有[*]，故存在u(x，y)使Pdx+Qdy=du．曲线积分∫_LPdx+Qdy在右半平面D内与路径无关．因而在右半平面(x＞0)上任取一特殊点，例如取点(1，0)，作为积分路径起点，则 [*]

解析

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考研数学一

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确定常数λ，使在右半平面(x＞0)上的向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)．

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(2015年)设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx3，若f(x)与g(x)在x→0是等价无穷小，求a，b，k的值。

(2007年)设幂级数内收敛，其和函数y(x)满足y"一2xy′一4y=0，y(0)=0，y′(0)=1。(I)证明n=1,2,…；(Ⅱ)求y(x)的表达式。

(2005年)求幂级数的收敛区间与和函数f(x)。

(2016年)已知函数f(x)可导，且f(0)=1,设数列{xn}满足xn+1=f(xn)(n=1，2，…)，证明：(I)级数绝对收敛；(Ⅱ)存在，且

(2004年)设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数收敛。

(2001年)设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f"(x)≠0，试证：(I)对于(一1，1)内的任意x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf[θ(x)x]成立；

(2005年)如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)。设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

二阶矩阵A有两个不同特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且A2(α1+α2)=α1+α2，则|A|=_______．

(2012年)已知L是第一象限中从点(0，0)沿圆周x2+y2=2x到点(2，0)，再沿圆周x2+y2=4到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分

[2012年]设∑={(x，y，z)｜x+y+z=1，x≥0，y≥0，z≥0}，则y2dS=______．

女性血浆雌二醇的水平最高的时期是

下列关于临终关怀的叙述，不正确的有()。

债券投资的收益一般通过债券收益率进行衡量和比较，那么债券收益率分为()。

受移送的质监所认为受移送的案件依照规定不属于本质监所管辖的，应当移送有管辖权的质监所。(　　)

()是指学生在学习情境中，通过自己的探索获得问题答案的学习方式。

投掷标枪时所做的“引枪”动作是运用了哪一反射原理?()

Newtechnologylinkstheworldasneverbefore.Ourplanethasshrunk.It’snowa"globalvillage"wherecountriesareonlysec

贸易创造与贸易转移

甲因信用卡诈骗罪被判处有期徒刑三年，缓期四年执行，法院在宣告缓刑的同时宣告禁止令。下列选项中，甲应当被禁止的内容是()

Oneoftheappealingfeaturesofgametheoryisthewayitreflectssomanyaspectsofreallife.Towinagame,orsurviveint

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