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  3. 设曲面积分 其中S+为上半椭球面： 的上侧． (Ⅰ)求证： (Ⅱ)求曲面积分J．

设曲面积分 其中S+为上半椭球面： 的上侧． (Ⅰ)求证： (Ⅱ)求曲面积分J．

admin2020-01-15  15
问题 设曲面积分

其中S+为上半椭球面：

的上侧．
(Ⅰ)求证：

(Ⅱ)求曲面积分J．
选项
答案(Ⅰ)由题设S+的方程，J可简化成 [*] 要将曲面积分J化为三重积分，可用高斯公式．由于S+不是封闭曲面，故要添加辅助面 [*] 取法向量n向下，S+与S1+所围的区域记为Ω，它的边界取外侧，于是在Ω上用高斯公式得 [*] 其中S1+上的曲面积分为零，因为S1+与yz平面及zx平面均垂直，又在S1+上z=0． (Ⅱ)求曲面积分J转化为求题(I)中的三重积分，怎样计算这个三重积分： [*] 因为Ω是半椭球体，不宜选用球坐标变换与柱坐标变换．我们用先二(先对x，y积分)后一(后对z积分)的积分顺序求 [*] 由于z∈[0，c]，与z轴垂直的平面截Ω得区域D(z)为 [*] 可以用同样方法计算 [*] 但是，由坐标的轮换对称性，有J1=J2=J3 [*]
解析
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考研数学一

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