设λ0为可逆矩阵A的一个特征值，证明λ0≠0，且是A的逆矩阵A一1的一个特征值．是A的伴随矩阵A*的一个特征值．

admin2018-11-11 47

问题设λ₀为可逆矩阵A的一个特征值，证明λ₀≠0，且

是A的逆矩阵A^一1的一个特征值．

是A的伴随矩阵A^*的一个特征值．

选项

答案设ξ₀≠0是A的对应于特征值λ₀的特征向量，则有Aξ₀=λ₀ξ₀． (*) 若λ₀=0，则(*)式为Aξ₀=0，且ξ₀≠0，这就是说，线性方程组Ax=0有非零解ξ₀，故｜A｜=0与A可逆矛盾．因此λ₀≠0．由(*)式可得[*]是A^一1的一个特征值．又因A^*=｜A｜A^-1，故有[*]从而[*]是A^*的一个特征值．

解析本题考查的主要知识点有：矩阵的特征值、特征向量，矩阵与其伴随矩阵之间的关系等．

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