设λ0为可逆矩阵A的一个特征值,证明λ0≠0,且是A的逆矩阵A一1的一个特征值. 是A的伴随矩阵A*的一个特征值.

admin2018-11-11  40

问题 设λ0为可逆矩阵A的一个特征值,证明λ0≠0,且是A的逆矩阵A一1的一个特征值.
是A的伴随矩阵A*的一个特征值.

选项

答案设ξ0≠0是A的对应于特征值λ0的特征向量,则有Aξ00ξ0. (*) 若λ0=0,则(*)式为Aξ0=0,且ξ0≠0,这就是说,线性方程组Ax=0有非零解ξ0,故|A|=0与A可逆矛盾.因此λ0≠0.由(*)式可得[*]是A一1的一个特征值.又因A*=|A|A-1,故有[*]从而[*]是A*的一个特征值.

解析 本题考查的主要知识点有:矩阵的特征值、特征向量,矩阵与其伴随矩阵之间的关系等.
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