2. 考研
  3. 设函数f(x)满足xf’(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求： (1)曲线y=f(x)； (2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．

设函数f(x)满足xf’(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求： (1)曲线y=f(x)； (2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．

admin2019-06-28  32
问题 设函数f(x)满足xf’(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：
(1)曲线y=f(x)；
(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．
选项
答案(1)由xf’(x)-2f(x)=-x[*]f’(x)-[*]f(x)=-1[*]f(x)=x+cx2． 设平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则 V(c)=π∫01(x+cx2)2dx [*] 因为V’’(c)=[*]＞0，所以c=[*]为V(c)的最小值点，且曲线方程为f(x)=x-[*]x2. (2)f’(x)=1-[*]，f’(0)=1，曲线f(x)=x-[*]x2在原点处的切线方程为y=x， 则A=∫01[x-(x-[*]x2)]dx=[*]
解析
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考研数学二

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