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[20l5年] 已知函数f(x)在区间[a,+∞]上具有2阶导数,f(a)=0,f′(x)>0,f″(0)>0.设b>a,曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线与x轴的交点是(x0,0),证明 a<x0<b.
[20l5年] 已知函数f(x)在区间[a,+∞]上具有2阶导数,f(a)=0,f′(x)>0,f″(0)>0.设b>a,曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线与x轴的交点是(x0,0),证明 a<x0<b.
admin
2019-04-05
51
问题
[20l5年] 已知函数f(x)在区间[a,+∞]上具有2阶导数,f(a)=0,f′(x)>0,f″(0)>0.设b>a,曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线与x轴的交点是(x
0
,0),证明
a<x
0
<b.
选项
答案
利用导数性质及拉格朗El中值定理证之. 为方便计,假设y=f(x)满足f′(x)>0,f″(x)>0且f(a)=0.y=f(x)在点(b,f(b))处的切线方程为y一f(b)=f′(b)(x-b),该切线与x轴的交点为 (x
0
,0)=(b一[*],0). 下证x
0
=b一[*]<b.因f′(x)>0,故f′(b)>0,且由f(x)单调增加,有f(b)>f(a)=0,从而[*]>0,故b一[*]<b,即x
0
<b. 下证x
0
>a,即证b一[*]>a,亦即证明(b一a)f′(b)>f(b).由左端易想到使用拉格朗日中值定理:因f(x)可导,由该定理得到 f(b)—f(a)=f′(ξ)(b—a),ξ∈(a,b). 因f(a)=0,即f(b)=f′(ξ)(b一a).又因f″(x)>0,f′(x)单调增加,故f′(ξ)<f′(b),所以f(b)=f′(ξ)(b一a)<f′(b)(b一a),所以b—a>[*],即x
0
=a一[*]>a. 综上得到a<x
0
<b.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gPV4777K
0
考研数学二
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