2. 考研
  3. (03年)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导．且f’(x)＞0．若极限存在．证明： (1)在(a，b)内f(x)＞0； (2)在(a，b)内存在点ξ，使 (3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使f’(η)(b2一a2

(03年)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导．且f’(x)＞0．若极限存在．证明： (1)在(a，b)内f(x)＞0； (2)在(a，b)内存在点ξ，使 (3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使f’(η)(b2一a2

admin2019-04-17  63
问题 (03年)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导．且f’(x)＞0．若极限存在．证明：
(1)在(a，b)内f(x)＞0；
(2)在(a，b)内存在点ξ，使
(3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使f’(η)(b2一a2)=
选项
答案(1)由[*]存在知，[*]由f(x)在[a，b]上的连续知，f(a)=0．又f’(x)＞0，则 f(x)在(a,b)内单调增加，故 f(x)＞f(a)=0．x∈(a，b) (2)设F(x)=x2.g(x)=∫axf(t)dt (a≤x≤b) 则g’(x)=f(x)＞0．故F(x)，g(x)满足柯西中值定理的条件．于是在(a，b)内存在点ξ．使 [*] (3)在[a，ξ]上对f(x)用拉格朗日中值定理得，存在η∈(a．ξ)，使 f(ξ)一f(a)=f’(η)(ξ一a) 即 f(ξ)=f’(η)(ξ一a) 代入(2)中的结论得 [*] 故 f’(η)(b2一a2)=[*]
解析
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考研数学二

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