(01年)设矩阵,已知线性方程组AX=β有解但不惟一,试求 (1)a的值; (2)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.

admin2021-01-25  45

问题 (01年)设矩阵,已知线性方程组AX=β有解但不惟一,试求
    (1)a的值;
    (2)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.

选项

答案(1)对方程组的增广矩阵[*]作初等行变换: [*] 由此可见 1)当a≠1且a≠-2时,r(A)=r([*])=3,方程组有惟一解; 2)当a=1时,r(A)=1,r([*])=2,方程组无解; 3)当a=-2时,r(A)=r([*])=2<3,方程组有无穷多解. 故a=-2满足题设条件. (2)由(1)知A=[*] 由|λE-A|=[*]=λ(λ-3)(λ+3)=0 得A的特征值为λ1=0,λ2=3,λ3=-3. 对于λ1=0,解方程组(0E-A)X=0,由 [*] 得对应的特征向量为α1=(1,1,1)T,单位化,得对应的单位特征向量为e1=[*]. 对于λ2=3,解方程组(3E-A)X=0,由 [*] 得对应的特征向量为α2=(1,0,-1)T.单位化,得对应的单位特征向量为e2=[*]. 对于特征值-3,解方程组(-3E-A)X=0,由 [*] 得对应的特征向量为e3=(1,-2,1)t,单位化,得对应的单位特征向量为e=[*]. 故所求的正交矩阵为 [*]

解析
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