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  3. (01年)设矩阵，已知线性方程组AX＝β有解但不惟一，试求 (1)a的值； (2)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

(01年)设矩阵，已知线性方程组AX＝β有解但不惟一，试求 (1)a的值； (2)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

admin2021-01-25  59
问题 (01年)设矩阵，已知线性方程组AX＝β有解但不惟一，试求
    (1)a的值；
    (2)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．
选项
答案(1)对方程组的增广矩阵[*]作初等行变换： [*] 由此可见 1)当a≠1且a≠－2时，r(A)＝r([*])＝3，方程组有惟一解； 2)当a＝1时，r(A)＝1，r([*])＝2，方程组无解； 3)当a＝－2时，r(A)＝r([*])＝2＜3，方程组有无穷多解． 故a＝－2满足题设条件． (2)由(1)知A＝[*] 由｜λE－A｜＝[*]＝λ(λ－3)(λ＋3)＝0 得A的特征值为λ1＝0，λ2＝3，λ3＝－3． 对于λ1＝0，解方程组(0E－A)X＝0，由 [*] 得对应的特征向量为α1＝(1，1，1)T，单位化，得对应的单位特征向量为e1＝[*]． 对于λ2＝3，解方程组(3E－A)X＝0，由 [*] 得对应的特征向量为α2＝(1，0，－1)T．单位化，得对应的单位特征向量为e2＝[*]． 对于特征值－3，解方程组(－3E－A)X＝0，由 [*] 得对应的特征向量为e3＝(1，－2，1)t，单位化，得对应的单位特征向量为e＝[*]． 故所求的正交矩阵为 [*]
解析
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考研数学三

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