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(01年)设矩阵,已知线性方程组AX=β有解但不惟一,试求 (1)a的值; (2)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.
(01年)设矩阵,已知线性方程组AX=β有解但不惟一,试求 (1)a的值; (2)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.
admin
2021-01-25
38
问题
(01年)设矩阵
,已知线性方程组AX=β有解但不惟一,试求
(1)a的值;
(2)正交矩阵Q,使Q
T
AQ为对角矩阵.
选项
答案
(1)对方程组的增广矩阵[*]作初等行变换: [*] 由此可见 1)当a≠1且a≠-2时,r(A)=r([*])=3,方程组有惟一解; 2)当a=1时,r(A)=1,r([*])=2,方程组无解; 3)当a=-2时,r(A)=r([*])=2<3,方程组有无穷多解. 故a=-2满足题设条件. (2)由(1)知A=[*] 由|λE-A|=[*]=λ(λ-3)(λ+3)=0 得A的特征值为λ
1
=0,λ
2
=3,λ
3
=-3. 对于λ
1
=0,解方程组(0E-A)X=0,由 [*] 得对应的特征向量为α
1
=(1,1,1)
T
,单位化,得对应的单位特征向量为e
1
=[*]. 对于λ
2
=3,解方程组(3E-A)X=0,由 [*] 得对应的特征向量为α
2
=(1,0,-1)
T
.单位化,得对应的单位特征向量为e
2
=[*]. 对于特征值-3,解方程组(-3E-A)X=0,由 [*] 得对应的特征向量为e
3
=(1,-2,1)
t
,单位化,得对应的单位特征向量为e=[*]. 故所求的正交矩阵为 [*]
解析
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考研数学三
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