2. 考研
  3. 设λ0为A的特征值． (1)证明：AT与A特征值相等； (2)求A2，A2＋2A＋3E的特征值； (3)若｜A｜≠0，求A-1，A*，E－A-1的特征值．

设λ0为A的特征值． (1)证明：AT与A特征值相等； (2)求A2，A2＋2A＋3E的特征值； (3)若｜A｜≠0，求A-1，A*，E－A-1的特征值．

admin2020-03-16  20
问题 设λ0为A的特征值．
    (1)证明：AT与A特征值相等；
    (2)求A2，A2＋2A＋3E的特征值；
    (3)若｜A｜≠0，求A-1，A*，E－A-1的特征值．
选项
答案(1)因为｜λE－AT｜＝｜(λE－A)T｜＝｜λE－A｜，所以AT与A的特征值相等． (2)因为Aα＝λ0α(α≠0)， 所以A2α＝λ0Aa＝λ02α，(A2＋2A＋3E)α＝(λ02＋2λ0＋3)α， 于是A2，A2＋2A＋3E的特征值分别为λ02，λ02＋2λ0＋3． (3)因为｜A｜＝λ1λ2…λn≠0，所以λ0≠0，由Aα＝λ0α得A-1α＝[*]α， 由A*Aα＝｜A｜α得A*α＝[*]α，又(E－A-1)α＝(1－[*])α， 于是A-1，A*，E－A-1的特征值分别为[*]．
解析
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考研数学二

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