设λ0为A的特征值． (1)证明：AT与A特征值相等； (2)求A2，A2＋2A＋3E的特征值； (3)若｜A｜≠0，求A-1，A*，E－A-1的特征值．

admin2020-03-16 36

问题设λ₀为A的特征值．
(1)证明：A^T与A特征值相等；
(2)求A²，A²＋2A＋3E的特征值；
(3)若｜A｜≠0，求A^-1，A^*，E－A^-1的特征值．

选项

答案(1)因为｜λE－A^T｜＝｜(λE－A)^T｜＝｜λE－A｜，所以A^T与A的特征值相等． (2)因为Aα＝λ₀α(α≠0)，所以A²α＝λ₀Aa＝λ₀²α，(A²＋2A＋3E)α＝(λ₀²＋2λ₀＋3)α，于是A²，A²＋2A＋3E的特征值分别为λ₀²，λ₀²＋2λ₀＋3． (3)因为｜A｜＝λ₁λ₂…λ_n≠0，所以λ₀≠0，由Aα＝λ₀α得A^-1α＝[*]α，由A^*Aα＝｜A｜α得A^*α＝[*]α，又(E－A^-1)α＝(1－[*])α，于是A^-1，A^*，E－A^-1的特征值分别为[*]．

解析

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考研数学二

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设λ0为A的特征值． (1)证明：AT与A特征值相等； (2)求A2，A2＋2A＋3E的特征值； (3)若｜A｜≠0，求A-1，A*，E－A-1的特征值．

考研数学二

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[*]

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