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设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关。当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向
设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关。当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向
admin
2019-03-23
39
问题
设4维向量组α
1
=(1+a,1,1,1)
T
,α
2
=(2,2+a,2,2)
T
,α
3
=(3,3,3+a,3)
T
,α
4
=(4,4,4,4+a)
T
,问a为何值时,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关。当α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。
选项
答案
记A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),则 |A|=[*]=(a+10)a
3
, 因此当a=0或a= —10时,|A|=0,即α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关。 当a=0时,α
1
为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组且α
2
=2α
1
,α
3
=3α
1
,α
4
=4α
1
。 当a= —10时,对A作初等行变换,即 [*] =(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
)。 由于β
2
,β
3
,β
4
是β
1
,β
2
,β
3
,β
4
的一个极大线性无关组且β
1
= —β
2
—β
3
—β
4
,故α
2
,α
3
,α
4
为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组且α
1
= —α
2
—α
3
—α
4
。
解析
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考研数学二
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