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  3. 若二次曲面x2+(k+2)y2+kz2+2xy=5表示一个椭球面，则( )

若二次曲面x2+(k+2)y2+kz2+2xy=5表示一个椭球面，则( )

admin2022-05-26  1
问题 若二次曲面x2+(k+2)y2+kz2+2xy=5表示一个椭球面，则(          )
选项 A、k＞0．
B、k＜0．
C、k＞-1．
D、k＜-1．
答案A
解析 设
　　    f(x，y，z)=xTAx=x2+(k+2)y2+kz2十2xy，x=(x，y，z)T．
　　    由于f=xTAx=5经可逆线性变换化为标准形后表示一个椭球面，故f的正惯性指数p=3．即二次型化为标准形后。对角线上的3个元素均为正．
　　   利用配方法，得
　　    x2+(k+2)y2+kz2+2xy=(x+y)2+(k+1)y2+kz2，
　　故解得k＞0．A正确．
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考研数学一

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