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设向量组(I):α1=(2,4,一2)T,α2=(一1,a一3,1)T,α3=(2,8,b一1)T;(Ⅱ):β1=(2,b+5,一2)T,β2=(3,7,a一4)TT,β3=(1,2b+4,一1)T.问.(1)a,b取何值时,r(I)=r(Ⅱ),且(I)与
设向量组(I):α1=(2,4,一2)T,α2=(一1,a一3,1)T,α3=(2,8,b一1)T;(Ⅱ):β1=(2,b+5,一2)T,β2=(3,7,a一4)TT,β3=(1,2b+4,一1)T.问.(1)a,b取何值时,r(I)=r(Ⅱ),且(I)与
admin
2016-01-11
102
问题
设向量组(I):α
1
=(2,4,一2)
T
,α
2
=(一1,a一3,1)
T
,α
3
=(2,8,b一1)
T
;(Ⅱ):β
1
=(2,b+5,一2)
T
,β
2
=(3,7,a一4)T
T
,β
3
=(1,2b+4,一1)
T
.问.(1)a,b取何值时,r(I)=r(Ⅱ),且(I)与(Ⅱ)等价?(2)a,b取何值时,r(I)=r(Ⅱ),但(I)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案
以α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
为列作矩阵,并对该矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵:[*] 由以上行阶梯形矩阵,得(1)当a≠1,b≠一1时,|α
1
,α
2
,α
3
|≠0,|β
1
,β
2
,β
3
|≠0,故此时r(I)=r(Ⅱ)=r(I,Ⅱ)=3,所以(I)与(Ⅱ)等价.当a=1,b=一1时,r(I)=r(Ⅱ)=r(I,Ⅱ)=2,故(I)与(Ⅱ)也等价. (2)当a=1,b≠一1时,r(I)=r(Ⅱ)=2,但r(I)≠r(I,Ⅱ)=3,故(I)与(Ⅱ)不等价.当a≠1,b=一1时,仍有r(I)=r(Ⅱ)=2,但r(I)≠r(I,Ⅱ)=3,故(I)与(Ⅱ)也不等价.综上可知,当a≠1,且b≠一1,或a=1,且b=一1时,r(I)=r(Ⅱ),从而(I)与(Ⅱ)等价;当a=1,且b≠一1或a≠1,且b=一1时,r(I)=r(Ⅱ),但(I)与(Ⅱ)不等价.
解析
本题考查在秩相等的条件下判断两向量组是否等价,需要从等价定义出发,即从(I)可由(Ⅱ)线性表示,且(Ⅱ)又可由(I)线性表示来考虑,也就是r(I)=r(Ⅱ)=r(I,Ⅱ).
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考研数学二
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