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设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解.若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是对应的齐次方程的解,则
设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解.若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是对应的齐次方程的解,则
admin
2014-01-26
70
问题
设y
1
,y
2
是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解.若常数λ,μ使λy
1
+μy
2
是该方程的解,λy
1
-μy
2
是对应的齐次方程的解,则
选项
A、
B、
C、
D、
答案
A
解析
[分析] 此题主要考查线性微分方程解的性质和结构.
[详解] 因λy
1
-μy
12
是方程y’+p(x)y=0的解,所以
(λy
1
-μy
2
)’+p(x)(λy
1
-μy
2
)=0,
即 λ[y’
1
+p(x)y
1
]-μ[y’
2
+p(x)y
2
]=0.
由已知得 (λ-μ)q(x)=0,
因为q(x)≠0,所以λ-μ=0,
又λy
1
+μy
21
是非齐次方程y’+p(x)y=q(x)的解,
故 (λy
1
+μy
2
)’+p(x)(λy
1
+μy
2
)=g(x).
即 λ[y’
1
+p(x)y
1
]-μ[y’
2
+p(x)y
2
]=q(x).
由已知得 (λ+μ)q(x)=g(x).
因为q(x)≠0,所以λ+u=1,
解得
[评注] 此题属反问题,题目构造较新颖.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Rm34777K
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考研数学二
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