2. 考研
  3. 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’＋p(x)y＝q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是对应的齐次方程的解，则

设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’＋p(x)y＝q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是对应的齐次方程的解，则

admin2014-01-26  49
问题 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’＋p(x)y＝q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是对应的齐次方程的解，则
选项 A、
B、
C、
D、
答案A
解析 [分析]  此题主要考查线性微分方程解的性质和结构．
[详解]  因λy1－μy12是方程y’＋p(x)y＝0的解，所以
    (λy1－μy2)’＋p(x)(λy1－μy2)＝0，
即    λ[y’1＋p(x)y1]－μ[y’2＋p(x)y2]＝0．
由已知得    (λ－μ)q(x)＝0，
因为q(x)≠0，所以λ－μ＝0，
又λy1＋μy21是非齐次方程y’＋p(x)y＝q(x)的解，
故    (λy1＋μy2)’＋p(x)(λy1＋μy2)＝g(x)．
即    λ[y’1＋p(x)y1]－μ[y’2＋p(x)y2]＝q(x)．
由已知得    (λ＋μ)q(x)＝g(x)．
因为q(x)≠0，所以λ＋u＝1，
解得
[评注]  此题属反问题，题目构造较新颖．
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考研数学二

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