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[2018年] 设数列{xn}满足：x1＞0，xnexn+1=exn一1(n=1，2，…)．证明{xn}收敛，并求xn．

admin2019-04-08  179
问题 [2018年]  设数列{xn}满足：x1＞0，xnexn+1=exn一1(n=1，2，…)．证明{xn}收敛，并求xn．
选项
答案设f(x)=ex一1一x，x＞0，则有 f’(x)=ex一1＞0，f(x)＞f(0)=0，[*]＞1， 从而ex2=[*]＞1，x2＞0． 猜想xn＞0，现用数学归纳法证明：n=1时，x1＞0，成立． 假设n=k(k=1，2，…)时，有xk＞0，则n=k+1时有 exk+1=[*]＞1，xk+1＞0． 因此xn＞0，有下界．再证单调性． xn+1-xn=[*]． 设g(x)=ex一1一xex，x＞0时，g’(x)=ex一ex一xex=一xex＜0，所以g(x)单调递减，g(x)＜g(0)=0，即有ex一1＜xex，因此 xn+1一xn=[*] 即数列{xn}单调递减．故由单调有界准则可知极限[*]xn存在． 不妨设[*]xn=A，则AeA=eA一1． 因为g(x)=ex一1-xex只有唯一的零点x=0，所以A=0，即 [*]xn=0．
解析
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考研数学一

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