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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明:存在c∈(a,b),使得f(c)=0;存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1,2);存在ξ∈(a,
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明:存在c∈(a,b),使得f(c)=0;存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1,2);存在ξ∈(a,
admin
2022-10-09
39
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫
a
b
f(x)dx=0.证明:存在c∈(a,b),使得f(c)=0;存在ξ
i
∈(a,b)(i=1,2),且ξ
1
≠ξ
2
,使得f’(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1,2);存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=f(ξ);存在η∈(a,b),使得f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0.
选项
答案
令F(x)=∫
a
x
f(t)dt,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F’(x)=f(x).故存在c∈(a,b),使得∫
a
b
f(x)dx=F(b)-F(a)=F’(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0,即f(c)=0.令h(x)=e
x
f(x),因为h(a)=h(c)=h(b)=0,所以由罗尔定理,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=0,而h’(x)=e
x
[f’(x)+f(x)]且e
x
≠0,所以f’(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1,2).令φ(x)=e
-x
[f’(x)+f(x)],φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)∈(a,b),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=e
-x
[f"(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以f"(ξ)=f(ξ).令g(x)=e
-x
f(x),g(a)=g(c)=g(b)=0,由罗尔定理,存在η
1
∈(a,c),η
2
∈(c,b),使得g’(η
1
)=g’(η
2
)=0,而g’(x)=e
-x
[f’(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以f’(η
1
)-f(η
1
)=0,f’(η
2
)-f(η
2
)=0.令φ(x)=e
-2x
[f’(x)-f(x)],φ(η
1
)=φ(η
2
)=0,由罗尔定理,存在η∈(η
1
,η
2
)∈(a,b),使得φ’(η)=0,而φ’(x)=e
-2x
[f"(x)-3f’(x)+2f(x)]且e
-2x
≠0,所以f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0.
解析
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考研数学三
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