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假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g″(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证: 在开区间(a,b)内g(x)≠0。
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g″(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证: 在开区间(a,b)内g(x)≠0。
admin
2018-12-29
16
问题
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g″(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:
在开区间(a,b)内g(x)≠0。
选项
答案
利用反证法。假设存在c∈(a,b),使得g(c)=0,则根据题意,对g(x)在[a,c]和[c,b]上分别应用罗尔定理,可知存在ξ
1
∈(a,c)和ξ
2
∈(c,b),使得g′(ξ
1
)=g′(ξ
2
)=0成立。 再对g′(x)在区间[ξ
1
,ξ
2
]上应用罗尔定理,可知存在ξ
3
∈(ξ
1
,ξ
2
),使得g″(ξ
3
)=0成立,这与题设条件g″(x)≠0矛盾,因此在开区间(a,b)内,g(x)≠0。
解析
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考研数学一
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