假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g″(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：在开区间(a，b)内g(x)≠0。

admin2018-12-29 21

问题假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g″(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：
在开区间(a，b)内g(x)≠0。

选项

答案利用反证法。假设存在c∈(a，b)，使得g(c)=0，则根据题意，对g(x)在[a，c]和[c，b]上分别应用罗尔定理，可知存在ξ₁∈(a，c)和ξ₂∈(c，b)，使得g′(ξ₁)=g′(ξ₂)=0成立。再对g′(x)在区间[ξ₁，ξ₂]上应用罗尔定理，可知存在ξ₃∈(ξ₁，ξ₂)，使得g″(ξ₃)=0成立，这与题设条件g″(x)≠0矛盾，因此在开区间(a，b)内，g(x)≠0。

解析

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考研数学一

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