设函数Fn(x)=，x∈[0，+∞)，其中，n=1，2，3，…为任意自然数，f(x)为[0，+∞)上正值连续函数，求证： (Ⅰ)Fn(x)在(0，+∞)存在唯一零点xn； (Ⅱ)ln(1+xn)收敛； (Ⅲ)Fn(x)=+∞

admin2019-06-04 44

问题设函数F_n(x)=

，x∈[0，+∞)，其中，n=1，2，3，…为任意自然数，f(x)为[0，+∞)上正值连续函数，求证：
(Ⅰ)F_n(x)在(0，+∞)存在唯一零点x_n；
(Ⅱ)

ln(1+x_n)收敛；
(Ⅲ)

F_n(x)=+∞

选项

答案(Ⅰ)F_n (x)在[0，+∞)内可导（也就必然连续），又 [*] [*]F_n(x)在[0，+∞)单调上升[*]Fn(x)在(0，+∞)有唯一零点，就是这个x_n ． (Ⅱ)在前面的证明中已得估计式 [*] ln(1+x_n )～x_n (n→∞) [*] (Ⅲ)前面已导出 [*]

解析

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