设A是3×3矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，且线性无关，已知 Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2． (1)证明Aα1，Aα2，Aα3线性无关；(2)求|A|．

admin2018-09-20 39

问题设A是3×3矩阵，α₁，α₂，α₃是3维列向量，且线性无关，已知
Aα₁=α₂+α₃，Aα₂=α₁+α₃，Aα₃=α₁+α₂．
(1)证明Aα₁，Aα₂，Aα₃线性无关；(2)求|A|．

选项

答案(1)[Aα₁，Aα₂，Aα₃]=[α₂+α₃，α₁+α₃，α₁+α₂]=[α₁，α₂，α₃][*][α₁,α₂，α₃]C，可得|C|=[*]=2≠0，C是可逆矩阵，故Aα₁，Aα₂，Aα₃和α₁，α₂，α₃是等价向量组，故Aα₁，Aα₂，Aα₃线性无关． (2)[Aα₁，Aα₂，Aα₃]=A[α₁，α₂，α₃]=[α₁，α₂，α₃][*] 两边取行列式，得[*]

解析

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考研数学三

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设A是3阶不可逆矩阵，α1，α2是Ax=0的基础解系，α3是属于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是
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已知α=(1，-2，2)T是二次型xTAx=ax12+4x22+bx32-4x1x2+4x1x3-8x2x3矩阵A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．
已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3．
设3阶矩阵A的特征值λ=1，λ=2，λ=3对应的特征向量依次为α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T．(Ⅰ)将向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3线性表出：(Ⅱ)求Anβ．
设A是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α1=(1，2，1)T与α2=(1，-1，1)T，则λ=2的特征向量是_______．
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