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设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 证明存在ξ∈(0,3),使f’’(ξ)=0.
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 证明存在ξ∈(0,3),使f’’(ξ)=0.
admin
2016-04-08
55
问题
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且
证明存在ξ∈(0,3),使f’’(ξ)=0.
选项
答案
因为f(2)+f(3)=2f(0),即[*]又因为f(x)在[2,3]上连续,由介值定理知,至少存在一点η
1
∈[2,3]使得f(η
1
)=f(0).又因为函数在[0,η]上连续,在(0,η)上可导,且f(0)=f(η),由罗尔中值定理知,存在ξ
1
∈(0,η),有f’(ξ
1
)=0.因为f(x)在[η,η
1
]上是连续的,在(η,η
1
)上是可导的,且满足f(η)=f(0)=f(η
1
),由罗尔中值定理知,存在ξ
2
∈(η,η
1
),有f’(ξ
2
)=0.因为f(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上是二阶可导的,且f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=0,根据罗尔中值定理,至少存在—点ξ∈(ξ
1
,ξ
2
),使得f’’(ξ)=0.
解析
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0
考研数学二
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