设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

admin2014-01-26 104

问题设矩阵

的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

选项

答案A的特征多项式为 [*] 若λ＝2是特征方程的二重根，则有2²－16＋18＋3a＝0，解得a＝－2．当a＝－2时，A的特征值为2，2，6，矩阵2E—A＝[*]的秩为1，故λ＝2 对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化．若λ＝2不是特征方程的二重根，则λ²－8λ＋18＋3a为完全平方，从而18＋3a＝16，解得[*]．当[*]时，A的特征值为2，4，4，矩阵4E—A＝[*]的秩为2，故λ＝4 对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化．

解析 [分析]先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A是否可相似对角化．
[评注]n阶矩阵A可对角化的充要条件是：对于A的任意k_i重特征根λ_i，恒有n－r(λ_iE—A)＝k_i，而单根一定只有一个线性无关的特征向量．

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考研数学二

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