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设矩阵的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
设矩阵的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
admin
2014-01-26
150
问题
设矩阵
的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
选项
答案
A的特征多项式为 [*] 若λ=2是特征方程的二重根,则有2
2
-16+18+3a=0,解得a=-2. 当a=-2时,A的特征值为2,2,6,矩阵2E—A=[*]的秩为1,故λ=2 对应的线性无关的特征向量有两个,从而A可相似对角化. 若λ=2不是特征方程的二重根,则λ
2
-8λ+18+3a为完全平方,从而18+3a=16,解 得[*]. 当[*]时,A的特征值为2,4,4,矩阵4E—A=[*]的秩为2,故λ=4 对应的线性无关的特征向量只有一个,从而A不可相似对角化.
解析
[分析]先求出A的特征值,再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量,确定A是否可相似对角化.
[评注]n阶矩阵A可对角化的充要条件是:对于A的任意k
i
重特征根λ
i
,恒有n-r(λ
i
E—A)=k
i
,而单根一定只有一个线性无关的特征向量.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Sm34777K
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考研数学二
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