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若函数f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f〞(χ)<0,且f(χ)在[0,1]上的最大值为M.求证: (Ⅰ)f(χ)>0(χ∈(0,1)); (Ⅱ)自然数n,存在唯一的χn∈(0,1),使得f′
若函数f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f〞(χ)<0,且f(χ)在[0,1]上的最大值为M.求证: (Ⅰ)f(χ)>0(χ∈(0,1)); (Ⅱ)自然数n,存在唯一的χn∈(0,1),使得f′
admin
2019-07-24
49
问题
若函数f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f〞(χ)<0,且f(χ)在[0,1]上的最大值为M.求证:
(Ⅰ)f(χ)>0(χ∈(0,1));
(Ⅱ)
自然数n,存在唯一的χ
n
∈(0,1),使得f′(χ
n
)=
.
选项
答案
(Ⅰ)由题设条件及罗尔定理,[*]∈(0,1),f′(a)a=0.由f〞(χ)<0(χ∈(0,1))[*]f′(χ)在(0,1)↘ [*] (Ⅱ)由题设知存在χ
M
∈(0,1)使得f(χ
M
)=M>0. 要证f′(χ)-[*](0,1)存在零点[*]在(0,1)存在零点.对n=1,2,3,…引入辅助函数 F
n
=f(χ)-[*]χ, [*]F
n
(χ)在[0,1]连续,在(0,1)可导,要证F′
n
(χ)=(χ)-[*]在[0,1)[*]零点,只需在[0,1]中找两点,F
n
(χ)的函数值相等.F
n
(0)=f(0)=0.再找F
n
(χ)在(0,1)的一个零点. 因[*] [*]存在ξ
n
∈(χ
M
,1)使得F
n
(ξ
n
)=0. 在[0,ξ
n
][*][0,1]上对F
n
(χ)用罗尔定理[*]存在χ
n
∈(0,ξ
n
)[*](0,1),F′
n
(χ
n
)=0,即 f′(χ
n
)=[*].
解析
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考研数学一
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