若函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)＝f(1)＝0，f〞(χ)＜0，且f(χ)在[0，1]上的最大值为M．求证： (Ⅰ)f(χ)＞0(χ∈(0，1))； (Ⅱ)自然数n，存在唯一的χn∈(0，1)，使得f′

admin2019-07-24 45

问题若函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)＝f(1)＝0，f〞(χ)＜0，且f(χ)在[0，1]上的最大值为M．求证：
(Ⅰ)f(χ)＞0(χ∈(0，1))；
(Ⅱ)

自然数n，存在唯一的χ_n∈(0，1)，使得f′(χ_n)＝

．

选项

答案(Ⅰ)由题设条件及罗尔定理，[*]∈(0，1)，f′(a)a＝0．由f〞(χ)＜0(χ∈(0，1))[*]f′(χ)在(0，1)↘ [*] (Ⅱ)由题设知存在χ_M∈(0，1)使得f(χ_M)＝M＞0．要证f′(χ)－[*](0，1)存在零点[*]在(0，1)存在零点．对n＝1，2，3，…引入辅助函数 F_n＝f(χ)－[*]χ， [*]F_n(χ)在[0，1]连续，在(0，1)可导，要证F′_n(χ)＝(χ)－[*]在[0，1)[*]零点，只需在[0，1]中找两点，F_n(χ)的函数值相等．F_n(0)＝f(0)＝0．再找F_n(χ)在(0，1)的一个零点．因[*] [*]存在ξ_n∈(χ_M，1)使得F_n(ξ_n)＝0．在[0，ξ_n][*][0，1]上对F_n(χ)用罗尔定理[*]存在χ_n∈(0，ξ_n)[*](0，1)，F′_n(χ_n)＝0，即 f′(χ_n)＝[*]．

解析

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考研数学一

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若函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)＝f(1)＝0，f〞(χ)＜0，且f(χ)在[0，1]上的最大值为M．求证： (Ⅰ)f(χ)＞0(χ∈(0，1))； (Ⅱ)自然数n，存在唯一的χn∈(0，1)，使得f′

考研数学一

一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布．

设有参数方程0≤t≤π．(Ⅰ)求证该参数方程确定y＝y(x)，并求定义域；(Ⅱ)讨论y＝y(x)的可导性与单调性；(Ⅲ)讨论y＝y(x)的凹凸性．

二次型f＝χTAχ经过满秩线性变换χ＝Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B()

设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且f’x(0，0)=3，f’y(0，0)=1，则()

设f(x，y)是定义在区域0≤x≤1，x≤y≤1上的二元连续函数，f(0，0)=一1，求极限。

将下列函数展开为x的幂级数．f(x)=ln(1+x+x2+x3)

设η1，η2，…，ηk是向量子空间V的一个规范正交基，α1，α2∈V，它们在此基下的坐标分别为k维实向量γ1，γ2．证明：(1)内积(α1，α2)＝(γ1，γ2)．(2)‖αi‖＝‖γi‖，i＝1，2．

设函数u(x，y，z)在由球面∑：x2+y2+z2=2z所包围的闭区域Ω上具有二阶连续偏导数，且满足=x2+y2+z2，n°是∑的外法线方向上的单位向量，则=_______．

设向量场A=2x3yzi－x2y2zj－x2yz2k，则其散度divA在点M(1，1，2)沿方向l={2，2，－1}的方向导数=_______。

A、毛果芸香碱B、阿托品C、卡巴胆碱D、美卡拉明E、毒扁豆碱M受体阻断药

急性胆囊炎感染的主要途径是

扩大客户量，提高交易量，()，在适当的时候提供恰当的信息，以增加客户或其朋友对销售人员的信任。

社会救助是社会保障体系的核心。()

实验室使用浓度为2％的盐水和蒸馏水，配制浓度为1％的淡盐水。现在有1000克蒸馏水和500克浓度为2％的盐水，则最多可配制()克浓度为1％的淡盐水。

设函数y=f(x)由方程xy+2Inx=y4所确定，则曲线y=f(x)在(1，1)处的法线方程为__________。

Despiteyourbestintentionsandefforts,itis【B1】:Atsomepointinyourlife,youwillbewrong.【B2】_canbehar

RobertaGordonneverthoughtshe’dstillbealiveatage76.Shedefinitelydidn’tthinkshe’dstillbeworking.ButeverySatur

有如下类定义和变量定义：classA{public:A(){data=0;}~A(){}intGetData()const{ret

若函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)＝f(1)＝0，f〞(χ)＜0，且f(χ)在[0，1]上的最大值为M．求证： (Ⅰ)f(χ)＞0(χ∈(0，1))； (Ⅱ)自然数n，存在唯一的χn∈(0，1)，使得f′

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A、毛果芸香碱B、阿托品C、卡巴胆碱D、美卡拉明E、毒扁豆碱M受体阻断药

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设函数y=f(x)由方程xy+2Inx=y4所确定，则曲线y=f(x)在(1，1)处的法线方程为__________。

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