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  3. 设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．

设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．

admin2019-09-04  80
问题 设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．
选项
答案今F(x)=∫0xf(t)dt，则F’(x)=f(x)，于是∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xF(t)dt， ∫0xf(t)(x-t)dt=x∫0xf(x)dt-∫0xtf(t)dt=xF(x)-∫0xtdF(t) =xF(x)-tF(t)｜0x+∫0xF(t)dt=∫0xF(t)dt． 命题得证． 方法二 因为[*]∫0x[∫0xf(u)du]dt=∫0xf(u)du， [*]∫0xf(t)(x-t)dt=[*][x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt]=∫0xf(t)dt， 所以∫0x[∫0xf(u)du]dt-∫0xf(t)(x-t)dt≡C0，取x=0得C0=0，故 ∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．
解析
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考研数学三

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