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设f(x)连续,证明:∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt.
设f(x)连续,证明:∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt.
admin
2019-09-04
83
问题
设f(x)连续,证明:∫
0
x
[∫
0
t
f(u)du]dt=∫
0
x
f(t)(x-t)dt.
选项
答案
今F(x)=∫
0
x
f(t)dt,则F’(x)=f(x),于是∫
0
x
[∫
0
t
f(u)du]dt=∫
0
x
F(t)dt, ∫
0
x
f(t)(x-t)dt=x∫
0
x
f(x)dt-∫
0
x
tf(t)dt=xF(x)-∫
0
x
tdF(t) =xF(x)-tF(t)|
0
x
+∫
0
x
F(t)dt=∫
0
x
F(t)dt. 命题得证. 方法二 因为[*]∫
0
x
[∫
0
x
f(u)du]dt=∫
0
x
f(u)du, [*]∫
0
x
f(t)(x-t)dt=[*][x∫
0
x
f(t)dt-∫
0
x
tf(t)dt]=∫
0
x
f(t)dt, 所以∫
0
x
[∫
0
x
f(u)du]dt-∫
0
x
f(t)(x-t)dt≡C
0
,取x=0得C
0
=0,故 ∫
0
x
[∫
0
t
f(u)du]dt=∫
0
x
f(t)(x-t)dt.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SsD4777K
0
考研数学三
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