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  3. 设f(x)二阶可导，f(0)＝f(1)＝0且f(x)＝－1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f”(ξ)≥8．

设f(x)二阶可导，f(0)＝f(1)＝0且f(x)＝－1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f”(ξ)≥8．

admin2020-03-10  51
问题 设f(x)二阶可导，f(0)＝f(1)＝0且f(x)＝－1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f”(ξ)≥8．
选项
答案因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)＝f(1)＝0， [*]f(x)＝－1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)＝－1，再由费马定理知f’(c)＝0，根据泰勒公式f(0)＝f(c)＋f’(c)(0－c)＋[*](0－c)2，ξ1∈(0，c)f(1)＝f(c)＋f’(c)(1－c)＋[*](1－c)2，ξ2∈(c，1) 整理得 f”(ξ1)＝[*]，f”(ξ2)＝[*]．当c∈(0，[*]]时，f”(ξ1)＝[*]≥8，取ξ＝ξ1；当c∈([*]，1)时，f”(ξ2)＝[*]≥8，取ξ＝ξ2．所以存在ξ∈(0，1)，使得f”(ξ)≥8．
解析
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考研数学三

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