[2011年] 微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．

admin2019-04-08 30

问题 [2011年] 微分方程y’+y=e^-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．

选项

答案y=e^-xsinx

解析注意到y’+y=y’+(x)’y=e^-xcosx，在其两边乘上e^x得到
y’e^x+e^xx’y=e^xe^-xcosx=cosx，即(ye^x)’=cosx．
两边积分得到
ye^x=∫cosxdx+C=sinx+C，即 y=e^-xsinx+Ce^-x．
由y(0)=0，得到C=0，故所求特解为y=e^-xsinx．

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