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设α1,α2,…,αs是n维向量,则下列命题中正确的是
设α1,α2,…,αs是n维向量,则下列命题中正确的是
admin
2018-11-22
62
问题
设α
1
,α
2
,…,α
s
是n维向量,则下列命题中正确的是
选项
A、如α
s
不能用α
1
,α
2
,…,α
s-1
线性表出,则α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关.
B、如α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,α
s
不能由α
1
,α
2
,…,α
s-1
线性表出,则α
1
,α
2
,…,α
s-1
线性相关.
C、如α
1
,α
2
,…,α
s
中,任意s一1个向量都线性无关,则α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关.
D、零向量0不能用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表出.
答案
B
解析
(A),(C),(D)均错,仅(B)正确.
(A)中当α
s
不能用α
1
,α
2
,…,α
s-1
线性表出时,并不保证每一个向量α
i
(i=1,2,…,s-1)都不能用其余的向量线性表出.例如,α
1
=(1,0),α
2
=(2,0),α
3
=(0,3),虽α
3
不能用α
1
,α
2
线性表出,但
2α
1
一α
2
+0α
3
=0,α
1
,α
2
,α
3
是线性相关的.
(C)如α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,可知它的任何一个部分组均线性无关.但任一部分组线性无关并不能保证该向量组线性无关.例如
e
1
=(1,0,0,…,0),e
2
=(0,1,0,…,0),…,e
n
=(0,0,0,…,1),α=(1,1,1,…,1),
其中任意n个都是线性无关的,但这n+1个向量是线性相关的.
(D)在线性表出的定义中,对组合系数没有任何约束条件,因此,零向量可以用任何向量组线性表出,最多组合系数全取为0,即0=0α
1
+0α
2
+…+0α
s
.
其实,零向量0用α
1
,α
2
,…,α
s
表示时,如果组合系数可以不全为0,则表明α
1
,α
2
,…,α
s
是线性相关的,否则线性无关.
关于(B),由于α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,故存在不全为0的k
i
(i=1,2,…,s),使
k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0.
显然,k
s
=0(否则α
s
可由α
1
,…,α
s-1
线性表出),因此α
1
,α
2
,…,α
s-1
线性相关.
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